Investigue a convergência das séries utilizando o critério da razão(teste) da razão.
sumk=0^+infty 2^k+53^k

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos investigar a convergência da série sumk=0^+infty2^k+53^k pelo critério da razão. Esse critério diz que, se definirmos ak=2^k+53^k e calculamos L=limktoinfty|tfracak+1ak|, então a série converge se L<1.

Passo 2

Identificamos o termo geral ak e escrevemos a razão entre termos consecutivos. Temos
ak+1ak=2^k+1+53^k+12^k+53^k=2^k+1+53,(2^k+5)

Passo 3

Agora calculamos o limite quando ktoinfty. Como 2^k cresce muito mais que 5, obtemos
L=limktoinfty2^k+1+53,(2^k+5)=limktoinfty2cdot2^k+53,(2^k+5)=23

Passo 4

Como L=2/3<1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge pelo teste da razão, pois o limite é L=2/3<1.

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