Considere a série de potências
sumn=0^infty (-1)^n(5 x-5)^nn 5^n
Qual o intervalo de convergência da série?

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty (-1)^n(5x-5)^nn,5^n. O tema é convergência de séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois testar os extremos do intervalo.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definimos an = (-1)^n(5x-5)^nn,5^n. Calculamos L = limntoinfty l|an+1/anr|.
Começando,
l|an+1/anr| = l|(5x-5)^n+1r|(n+1),5^n+1cdotn,5^nl|(5x-5)^nr| = |5x-5|5cdotnn+1

Passo 3

Tomando o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty |5x-5|5cdotnn+1 = |5x-5|5

Passo 4

O teste da razão diz que converge se L<1, logo
|5x-5|5<1 Longrightarrow |5x-5|<5 Longrightarrow |x-1|<1

Passo 5

Isso nos dá o intervalo central aberto 0. Agora testamos os extremos:

Passo 6

Para x=0:
sumn=1^infty (-1)^n(5cdot0-5)^nn5^n = sumn=1^infty (-1)^n(-5)^nn5^n = sumn=1^infty 5^nn5^n = sumn=1^infty 1n, que é a série harmônica e diverge.

Passo 7

Para x=2:
sumn=1^infty (-1)^n(5cdot2-5)^nn5^n = sumn=1^infty (-1)^n5^nn5^n = sumn=1^infty (-1)^nn, que é a série harmônica alternada e converge (critério de Leibniz).

Resposta

O intervalo de convergência é (0,2].

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