Investigue as integrais impróprias a seguir.
integral-2^2 x d x1-x

Passo 1

Opa, o exercício é investigar a integral imprópria . Esse assunto é de integrais impróprias, e a gente vai ter que enfrentar a descontinuidade em .

Passo 2

Como a função estoura em integral-2^2x1-x,dx = limtto1^-integral-2^tx1-x,dx + limsto1^+integrals^2x1-x,dx , a gente divide a integral em duas usando limites. Aqui vamos fazer

Passo 3

Para calcular essas integrais, precisamos da antiderivada de integralx1-x,dx = integrall(-1 -1x-1r),dx = -x - ln|x-1| + C . Dá pra reescrever e daí integrar cada parte:

Passo 4

Agora avaliamos cada parte no limite. Para o trecho à esquerda:
limtto1^-l[-x - ln|x-1|r]-2^t
Isso dá
limtto1^-l(-t - ln|t-1| + 2 + ln3r)
Como vai para quando , esse limite vai para .

Passo 5

Para o trecho à direita:
limsto1^+l[-x - ln|x-1|r]s^2
Isso dá
limsto1^+l(-2 - ln1 + s + ln|s-1|r)
Como vai para quando , esse limite vai para .

Passo 6

Como os dois limites não são finitos, a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge (não converge), já que a descontinuidade em faz os limites laterais irem a e .

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