Qual é a série de Taylor da função f(x)=1x em torno de a=2 ?
Assinale a alternativa correta:
f(x)=sumn=1^infty(-1)^n (x-2)^n2^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em torno de $ a = 2 $. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que permite representar funções como somas infinitas de termos baseados nas derivadas da função no ponto escolhido. Vamos precisar manipular expressões algébricas e entender como expandir frações em séries.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em termos de $ (x - 2) $, já que queremos expandir em torno de $ a = 2 $. Podemos fazer isso assim:
f(x) = 1x

Passo 3

Agora, percebemos que temos uma fração do tipo $ \frac{1}{1 + y} $, onde $ y = \frac{(x - 2)}{2} $. Sabemos que essa expressão pode ser expandida usando uma série geométrica:
11 + y

Passo 4

Substituindo $ y = \frac{(x - 2)}{2} $ na série, temos:
y = (x - 2)2
Multiplicando tudo por $ \frac{1}{2} $, ficamos com:
11 + (x - 2)2 = sumn=0^infty (-1)^n ( (x - 2)2 )^n

Passo 5

Observamos que a série começa no termo $ n = 0 $. Se quisermos começar a soma a partir de $ n = 1 $, podemos reescrever a série assim:
n = 0
Mas, para a série completa representando $ f(x) $, incluímos o termo $ n = 0 $, que é $ \frac{1}{2} $.

Resposta

A série de Taylor da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em torno de $ a = 2 $ é:
f(x) = 1x
Portanto, a alternativa dada está quase correta, mas deve incluir o termo $ n = 0 $ para representar completamente a série de Taylor.

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