Qual é a série de Taylor da função
em torno de
?
Assinale a alternativa correta:
Assinale a alternativa correta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em torno de $ a = 2 $. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que permite representar funções como somas infinitas de termos baseados nas derivadas da função no ponto escolhido. Vamos precisar manipular expressões algébricas e entender como expandir frações em séries.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em termos de $ (x - 2) $, já que queremos expandir em torno de $ a = 2 $. Podemos fazer isso assim:
Passo 3
Agora, percebemos que temos uma fração do tipo $ \frac{1}{1 + y} $, onde $ y = \frac{(x - 2)}{2} $. Sabemos que essa expressão pode ser expandida usando uma série geométrica:
Passo 4
Substituindo $ y = \frac{(x - 2)}{2} $ na série, temos:
Multiplicando tudo por $ \frac{1}{2} $, ficamos com:
Passo 5
Observamos que a série começa no termo $ n = 0 $. Se quisermos começar a soma a partir de $ n = 1 $, podemos reescrever a série assim:
Mas, para a série completa representando $ f(x) $, incluímos o termo $ n = 0 $, que é $ \frac{1}{2} $.
Resposta
A série de Taylor da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ em torno de $ a = 2 $ é:
Portanto, a alternativa dada está quase correta, mas deve incluir o termo $ n = 0 $ para representar completamente a série de Taylor.