Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função $ f(x) = |x^{5}| $ é par, ímpar ou nenhuma das duas. A gente vai trabalhar com conceitos de paridade de funções, que é sobre simetria da função em relação ao eixo y (par) ou à origem (ímpar). Para isso, vamos usar as definições de função par e ímpar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par. Uma função $ f(x) $ é par se, para todo $ x $ no domínio, $ f(-x) = f(x) $. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Já uma função $ f(x) $ é ímpar se, para todo $ x $ no domínio, $ f(-x) = -f(x) $. Isso indica que o gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 4

Vamos aplicar essas definições à nossa função $ f(x) = |x^{5}| $. Primeiro, vamos calcular $ f(-x) $:
f(x) = |x^5|
Sabemos que $ (-x)^{5} = -x^{5} $, então:
f(-x)

Passo 5

Agora, comparamos $ f(-x) $ com $ f(x) $:
f(-x)
Isso mostra que $ f(-x) = f(x) $, o que satisfaz a condição para a função ser par.

Passo 6

Para confirmar, vamos verificar se a função também poderia ser ímpar. Segundo a definição, precisaríamos que $ f(-x) = -f(x) $. Mas já vimos que $ f(-x) = f(x) $, então claramente $ f(-x) \neq -f(x) $, a menos que $ f(x) = 0 $, o que não é o caso aqui.

Resposta

A função $ f(x) = |x^{5}| $ é par.

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