A função
é definida implicitamente pela equação
se para todo
temos
. Mostre que se
e
são diferenciáveis, então:
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar a fórmula da derivada implícita de uma função definida por uma relação F(x,y)=0: esse é um tema de derivada implícita e vai nos ajudar a encontrar y’=dy/dx sem ter y=f(x) explicitamente.
Passo 2
Como F(x,y)=0 e y na verdade é dado por y=f(x), podemos escrever F(x,f(x))=0 para todo x no domínio de f.
Passo 3
Agora aplicamos a derivada em relação a x dos dois lados da igualdade F(x,f(x))=0. Isso serve para usar a regra da cadeia, pois F depende de x diretamente e também de y(x). Pela regra da cadeia temos
Passo 4
Basta isolar
. Assumindo
, obtemos