A função y=f(x) é definida implicitamente pela equação F(x, y)=0 se para todo x in Dom(f) temos F(x, f(x))=0. Mostre que se f e F são diferenciáveis, então:
d yd x=-partial F / partial xpartial F / partial y se partial Fpartial y neq 0

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar a fórmula da derivada implícita de uma função definida por uma relação F(x,y)=0: esse é um tema de derivada implícita e vai nos ajudar a encontrar y’=dy/dx sem ter y=f(x) explicitamente.

Passo 2

Como F(x,y)=0 e y na verdade é dado por y=f(x), podemos escrever F(x,f(x))=0 para todo x no domínio de f.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada em relação a x dos dois lados da igualdade F(x,f(x))=0. Isso serve para usar a regra da cadeia, pois F depende de x diretamente e também de y(x). Pela regra da cadeia temos
ddxF(x,f(x))=partial Fpartial x(x,f(x)) + partial Fpartial y(x,f(x))cdotdydx=0

Passo 4

Basta isolar dy/dx. Assumindo partial F/partial yneq0, obtemos
dydx=-partial F/partial xpartial F/partial y

Resposta

dfracdydx=-dfracpartial F/partial xpartial F/partial y

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