Investigue as integrais impróprias a seguir.
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente investigar se a integral imprópria
converge ou diverge. O conteúdo aqui é de integrais impróprias, e vamos precisar calcular a antiderivada de
e usar limites pra lidar com a descontinuidade em
e o infinito em
.
Passo 2
Perceba que a integral é imprópria por dois motivos: em
o denominador vira zero e em
o intervalo é infinito. Pra tratar isso, a gente escreve a integral como dois limites encadeados: primeiro
e depois
.
Passo 3
Vamos achar a antiderivada de
. Aplicando a regra da potência, obtemos
Passo 4
Agora avaliamos essa antiderivada entre
e
:
Passo 5
Em seguida, deixamos
. O termo
vai pra zero, sobrando
Passo 6
Quando
, o denominador
tende a zero, então
. Isso mostra que a integral não converge.
Resposta
A integral diverge (é divergente).