Investigue as integrais impróprias a seguir.
integral1^infty d x(x-1)^3

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente investigar se a integral imprópria converge ou diverge. O conteúdo aqui é de integrais impróprias, e vamos precisar calcular a antiderivada de e usar limites pra lidar com a descontinuidade em e o infinito em .

Passo 2

Perceba que a integral é imprópria por dois motivos: em o denominador vira zero e em o intervalo é infinito. Pra tratar isso, a gente escreve a integral como dois limites encadeados: primeiro e depois .

Passo 3

Vamos achar a antiderivada de integral (x-1)^-3dx = (x-1)^-2-2 = -12(x-1)^2 . Aplicando a regra da potência, obtemos

Passo 4

Agora avaliamos essa antiderivada entre integrala^Rdx(x-1)^3 = l[-12(x-1)^2r]x=a^x=R = -12(R-1)^2 + 12(a-1)^2 e :

Passo 5

Em seguida, deixamos limato1^+ 12(a-1)^2 . O termo vai pra zero, sobrando

Passo 6

Quando , o denominador tende a zero, então . Isso mostra que a integral não converge.

Resposta

A integral diverge (é divergente).

Exercícios relacionados