Aproxime a função f(x)=x sen(x) por um polinômio de Taylor de grau n=4 em a=0.
Assinale a alternativa correta:
x sen(x) approx x^2-x^42

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para aproximar a função $ f(x) = x \sin(x) $ por um polinômio de Taylor de grau 4 em $ a = 0 $. Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor, que ajuda a aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a quarta ordem e usar a fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de grau $ n $ em $ a = 0 $ (que também é chamado de série de Maclaurin):
n
Nosso objetivo é encontrar $ P_4(x) $, então precisamos das derivadas de $ f(x) $ até a quarta ordem avaliadas em 0.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas:
  1. Função original:
    f(x) = x sin(x)
    Avaliando em 0:
    f(0) = 0 cdot sin(0) = 0
  2. Primeira derivada:
    Usando a regra do produto:
    f'(x) = sin(x) + x cos(x)
    Avaliando em 0:
    f'(0) = sin(0) + 0 cdot cos(0) = 0
  3. Segunda derivada:
    Derivando novamente:
    f''(x) = cos(x) + cos(x) - x sin(x) = 2cos(x) - x sin(x)
    Avaliando em 0:
    f''(0) = 2cos(0) - 0 cdot sin(0) = 2
  4. Terceira derivada:
    Derivando mais uma vez:
    f'''(x) = -2sin(x) - sin(x) - x cos(x) = -3sin(x) - x cos(x)
    Avaliando em 0:
    f'''(0) = -3sin(0) - 0 cdot cos(0) = 0
  5. Quarta derivada:
    Derivando de novo:
    f''''(x) = -3cos(x) - cos(x) + x sin(x) = -4cos(x) + x sin(x)
    Avaliando em 0:
    f''''(0) = -4cos(0) + 0 cdot sin(0) = -4

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
P4(x) = 0 + 0 cdot x + 22x^2 + 0 cdot x^3 + -424x^4 = x^2 - x^46

Resposta

A aproximação correta do polinômio de Taylor de grau 4 para $ f(x) = x \sin(x) $ em $ a = 0 $ é:
f(x) = x sin(x)
Portanto, a alternativa $ x \sin(x) \approx x^{2} - \frac{x^{4}}{2} $ está incorreta.

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