Aproxime a função
por um polinômio de Taylor de grau
.
Assinale a alternativa correta:
Assinale a alternativa correta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para aproximar a função $ f(x) = x \sin(x) $ por um polinômio de Taylor de grau 4 em $ a = 0 $. Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor, que ajuda a aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a quarta ordem e usar a fórmula do polinômio de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de grau $ n $ em $ a = 0 $ (que também é chamado de série de Maclaurin):
Nosso objetivo é encontrar $ P_4(x) $, então precisamos das derivadas de $ f(x) $ até a quarta ordem avaliadas em 0.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas:
-
Função original:Avaliando em 0:
-
Primeira derivada:
Usando a regra do produto:Avaliando em 0: -
Segunda derivada:
Derivando novamente:Avaliando em 0: -
Terceira derivada:
Derivando mais uma vez:Avaliando em 0: -
Quarta derivada:
Derivando de novo:Avaliando em 0:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Resposta
A aproximação correta do polinômio de Taylor de grau 4 para $ f(x) = x \sin(x) $ em $ a = 0 $ é:
Portanto, a alternativa $ x \sin(x) \approx x^{2} - \frac{x^{4}}{2} $ está incorreta.