- Investigue se o sinal abaixo é periódico. Se for o caso identifique a frequência fundamental do sinal e esboce seu espectro bilateral. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede:
- Investigar se o sinal é periódico.
- Se for periódico, identificar a frequência fundamental do sinal.
- Esboçar (descrever) o espectro bilateral e justificar.
Informações do enunciado (peguei tudo do próprio enunciado):
Lista dos termos que aparecem:
- Termo DC (constante):
. - Primeiro cosseno: amplitude
, pulsação , fase . - Segundo termo seno: amplitude
, pulsação , fase dentro do seno . - Terceiro cosseno: amplitude
(ou tratar sinal separadamente), pulsação , fase .
O que preciso determinar nos passos seguintes:
- Se existe um
tal que cada seja um inteiro vezes . - Se sim, encontrar
, o período e a frequência . - Construir o espectro bilateral (impulsos em
com os pesos corretos).
Passo 2
Regra necessária para periodicidade (explicação didática):
- Uma soma finita de senos e cossenos é periódica se e somente se todas as pulsações
são múltiplos inteiros de uma mesma pulsação fundamental . Em outras palavras, existem inteiros tais que
- O termo DC (constante) não impede periodicidade: a constante é periódica com qualquer período, então ela apenas adiciona uma componente em
. - Portanto o procedimento prático: verificar se as razões
são inteiros para algum .
Passo 3
Aplicando a regra aos valores dados:
- Temos
, , (tudo em ). - Dividindo pelo menor valor
:
Todas as razões são inteiros (
). Logo existe
tal que cada
é um múltiplo inteiro de
. Conclusão: o sinal é periódico.
Passo 4
Determinar a pulsação fundamental e o período:
- A pulsação fundamental (angular) é o maior divisor comum das pulsações, aqui
. - O período fundamental é
- A frequência fundamental em hertz é
Resumo numérico:
,
e
.
Passo 5
Preparar o esboço do espectro bilateral (relembrando fórmulas e estratégia):
- Para um sinal real e periódico feito por somas de cossenos/senos, o espectro bilateral
consiste em impulsos e nos harmônicos, com pesos complexos apropriados. - Fórmulas úteis (convenção padrão da transformada de Fourier):
- A transformada de um termo constante
é . - A transformada de
é
- A transformada de
pode ser obtida transformando para cosseno (usar ) e aplicando a fórmula anterior.
- A transformada de um termo constante
- Vou aplicar essas fórmulas termo a termo para obter os pesos dos impulsos no espectro.
Passo 6
Calcular os pesos no espectro termo a termo (passo a passo e bem mastigado):
- Termo DC
:
- Termo
:
- Use a fórmula direta com
, , :
Como
e
, obtemos
- Termo
:
- Primeiro converta para cosseno:
. Então
- Usando a fórmula com
, , :
Ou seja
- Termo
:
- É prático reescrever o sinal com amplitude positiva e fase ajustada: como
,
- Agora use
, , :
Passo 7
Juntando todos os termos, o espectro bilateral
(na convenção padrão) é:
Interpretação prática (como esboço do espectro bilateral):
- Há um impulso em
com peso (componente DC negativa). - Pares de impulsos simétricos em
com pesos complexos (módulo , fases ). - Pares de impulsos em
com pesos reais iguais a em cada um (módulo , fase ou ). - Pares de impulsos em
com pesos (módulo , fases ). - Os harmônicos estão em múltiplos inteiros de
(números de harmônicos correspondentes: ; observe que não há termo com neste conjunto, i.e., não há impulso em etc.).
Resposta
O sinal é periódico.
.
.
.