1. Investigue se o sinal abaixo é periódico. Se for o caso identifique a frequência fundamental do sinal e esboce seu espectro bilateral. Justifique sua resposta.
x(t)=-1+4 \cos (1,5 t+\pi / 2)+2 \operatorname{sen}(3 t+3 \pi / 2)-5 \cos (6 t-\pi / 4)

Passo 1

O enunciado pede:
  • Investigar se o sinal é periódico.
  • Se for periódico, identificar a frequência fundamental do sinal.
  • Esboçar (descrever) o espectro bilateral e justificar.
Informações do enunciado (peguei tudo do próprio enunciado):
x(t)=-1+4\cos\bigl(1,5\,t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)+2\operatorname{sen}\bigl(3\,t+\tfrac{3\pi}{2}\bigr)-5\cos\bigl(6\,t-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Lista dos termos que aparecem:
  • Termo DC (constante): -1.
  • Primeiro cosseno: amplitude 4, pulsação \omega_1=1,5\\ \mathrm{rad/s}, fase \phi_1=\tfrac{\pi}{2}.
  • Segundo termo seno: amplitude 2, pulsação \omega_2=3\\ \mathrm{rad/s}, fase dentro do seno \tfrac{3\pi}{2}.
  • Terceiro cosseno: amplitude -5 (ou tratar sinal separadamente), pulsação \omega_3=6\\ \mathrm{rad/s}, fase -\tfrac{\pi}{4}.
O que preciso determinar nos passos seguintes:
  • Se existe um \omega_0 tal que cada \omega_k seja um inteiro vezes \omega_0.
  • Se sim, encontrar \omega_0, o período T_0 e a frequência f_0.
  • Construir o espectro bilateral (impulsos em \omega com os pesos corretos).

Passo 2

Regra necessária para periodicidade (explicação didática):
  • Uma soma finita de senos e cossenos é periódica se e somente se todas as pulsações \omega_k são múltiplos inteiros de uma mesma pulsação fundamental \omega_0. Em outras palavras, existem inteiros n_k tais que
\omega_k = n_k\,\omega_0\quad\text{para todo }k.
  • O termo DC (constante) não impede periodicidade: a constante é periódica com qualquer período, então ela apenas adiciona uma componente em \omega=0.
  • Portanto o procedimento prático: verificar se as razões \dfrac{\omega_k}{\omega_{\text{candidato}}} são inteiros para algum \omega_{\text{candidato}}.

Passo 3

Aplicando a regra aos valores dados:
  • Temos \omega_1=1,5, \omega_2=3, \omega_3=6 (tudo em \mathrm{rad/s}).
  • Dividindo pelo menor valor \omega_1=1,5:
\frac{\omega_1}{1,5}=1,\qquad \frac{\omega_2}{1,5}=\frac{3}{1,5}=2,\qquad \frac{\omega_3}{1,5}=\frac{6}{1,5}=4.
Todas as razões são inteiros ( 1,2,4). Logo existe \omega_0 tal que cada \omega_k é um múltiplo inteiro de \omega_0. Conclusão: o sinal é periódico.

Passo 4

Determinar a pulsação fundamental e o período:
  • A pulsação fundamental (angular) é o maior divisor comum das pulsações, aqui \omega_0=1,5\\ \mathrm{rad/s}.
  • O período fundamental é
T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{1,5}=\frac{4\pi}{3}.
  • A frequência fundamental em hertz é
f_0=\frac{1}{T_0}=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1,5}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}.
Resumo numérico: \omega_0=1,5\\ \mathrm{rad/s}, T_0=\dfrac{4\pi}{3} e f_0=\dfrac{1,5}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Preparar o esboço do espectro bilateral (relembrando fórmulas e estratégia):
  • Para um sinal real e periódico feito por somas de cossenos/senos, o espectro bilateral X(\omega) consiste em impulsos \delta(\omega-\omega_k) e \delta(\omega+\omega_k) nos harmônicos, com pesos complexos apropriados.
  • Fórmulas úteis (convenção padrão da transformada de Fourier):
    • A transformada de um termo constante a é \;2\pi a\,\delta(\omega).
    • A transformada de \;A\cos(\omega_0 t+\varphi)\; é
    \pi A\bigl(e^{j\varphi}\delta(\omega-\omega_0)+e^{-j\varphi}\delta(\omega+\omega_0)\bigr).
    • A transformada de \;A\operatorname{sen}(\omega_0 t+\varphi)\; pode ser obtida transformando para cosseno (usar \operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta-\tfrac{\pi}{2})) e aplicando a fórmula anterior.
  • Vou aplicar essas fórmulas termo a termo para obter os pesos dos impulsos no espectro.

Passo 6

Calcular os pesos no espectro termo a termo (passo a passo e bem mastigado):
  1. Termo DC -1:
\text{FT}\{-1\}=2\pi(-1)\,\delta(\omega)=-2\pi\,\delta(\omega).
  1. Termo 4\cos\bigl(1,5t+\tfrac{\pi}{2}\bigr):
  • Use a fórmula direta com A=4, \omega_0=1,5, \varphi=\tfrac{\pi}{2}:
\text{FT} = \pi\cdot 4\bigl(e^{j\pi/2}\delta(\omega-1,5)+e^{-j\pi/2}\delta(\omega+1,5)\bigr).
Como e^{j\pi/2}=j e e^{-j\pi/2}=-j, obtemos
4\pi\bigl(j\,\delta(\omega-1,5)-j\,\delta(\omega+1,5)\bigr).
  1. Termo 2\operatorname{sen}\bigl(3t+\tfrac{3\pi}{2}\bigr):
  • Primeiro converta para cosseno: \operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta-\tfrac{\pi}{2}). Então
2\operatorname{sen}\bigl(3t+\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=2\cos\bigl(3t+\tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2\cos(3t+\pi).
  • Usando a fórmula com A=2, \omega_0=3, \varphi=\pi:
\text{FT} = \pi\cdot 2\bigl(e^{j\pi}\delta(\omega-3)+e^{-j\pi}\delta(\omega+3)\bigr)=2\pi\bigl(-1\,\delta(\omega-3)-1\,\delta(\omega+3)\bigr).
Ou seja
-2\pi\bigl(\delta(\omega-3)+\delta(\omega+3)\bigr).
  1. Termo -5\cos\bigl(6t-\tfrac{\pi}{4}\bigr):
  • É prático reescrever o sinal com amplitude positiva e fase ajustada: como -\cos(\theta)=\cos(\theta+\pi),
-5\cos\bigl(6t-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=5\cos\bigl(6t-\tfrac{\pi}{4}+\pi\bigr)=5\cos\bigl(6t+\tfrac{3\pi}{4}\bigr).
  • Agora use A=5, \omega_0=6, \varphi=\tfrac{3\pi}{4}:
\text{FT}= \pi\cdot 5\bigl(e^{j3\pi/4}\delta(\omega-6)+e^{-j3\pi/4}\delta(\omega+6)\bigr).

Passo 7

Juntando todos os termos, o espectro bilateral X(\omega) (na convenção padrão) é:
\begin{aligned} X(\omega) &=& -2\pi\,\delta(\omega) \\\ && {}+4\pi\bigl(j\,\delta(\omega-1,5)-j\,\delta(\omega+1,5)\bigr) \\\ && {}-2\pi\bigl(\delta(\omega-3)+\delta(\omega+3)\bigr) \\\ && {}+5\pi\bigl(e^{j3\pi/4}\delta(\omega-6)+e^{-j3\pi/4}\delta(\omega+6)\bigr). \end{aligned}
Interpretação prática (como esboço do espectro bilateral):
  • Há um impulso em \omega=0 com peso -2\pi (componente DC negativa).
  • Pares de impulsos simétricos em \omega=\pm 1,5 com pesos complexos 4\pi e^{\pm j\pi/2} (módulo 4\pi, fases \pm \tfrac{\pi}{2}).
  • Pares de impulsos em \omega=\pm 3 com pesos reais iguais a -2\pi em cada um (módulo 2\pi, fase \pi ou -\pi).
  • Pares de impulsos em \omega=\pm 6 com pesos 5\pi e^{\pm j3\pi/4} (módulo 5\pi, fases \pm \tfrac{3\pi}{4}).
  • Os harmônicos estão em múltiplos inteiros de \omega_0=1,5 (números de harmônicos correspondentes: n=0,1,2,4; observe que não há termo com n=3 neste conjunto, i.e., não há impulso em \omega=4,5 etc.).

Resposta

O sinal é periódico.
\omega_0=1,5\\ \mathrm{rad/s}.
T_0=\dfrac{4\pi}{3}.
f_0=\dfrac{1,5}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}.
X(\omega)=-2\pi\,\delta(\omega)+4\pi\bigl(j\,\delta(\omega-1,5)-j\,\delta(\omega+1,5)\bigr)-2\pi\bigl(\delta(\omega-3)+\delta(\omega+3)\bigr)+5\pi\bigl(e^{j3\pi/4}\delta(\omega-6)+e^{-j3\pi/4}\delta(\omega+6)\bigr).

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