Resolva:
x^{\prime \prime}+x=\operatorname{sen}(2 t) \quad D_{1} ca: x_{p}=A \operatorname{sen}(2 t)+B \cos (2 t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x''+x=\sin(2t)
e sugere testar uma solução particular da forma
x_p(t)=A\sin(2t)+B\cos(2t).
O que pede a questão (implícito) é: encontrar os coeficientes A e B que tornam x_p uma solução particular e escrever a solução geral da equação. Informação dada relevante:
  • A equação linear de 2ª ordem homogênea associada é x''+x=0.
  • A tentativa de solução particular foi fornecida: x_p(t)=A\sin(2t)+B\cos(2t).

Passo 2

Primeiro encontro a solução geral da equação homogênea associada, pois a solução geral da não-homogênea será a soma da homogênea com uma particular.
A equação homogênea é
x''+x=0.
A equação característica é
r^2+1=0,
cuja solução é r=\pm i. Isso implica que a solução geral homogênea é
x_h(t)=C_1\cos t + C_2\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais).

Passo 3

Agora uso o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) para achar A e B. Ideia e justificativa rápida e didática:
  • O termo forçante é \sin(2t), que é uma combinação linear de \sin(2t) e \cos(2t).
  • Como frequências da tentativa ( 2) e da solução homogênea ( 1) são diferentes, não há ressonância; portanto a forma proposta x_p=A\sin(2t)+B\cos(2t) é adequada.
    (Se houvesse ressonância, por exemplo se o forçante fosse \sin t, teríamos que multiplicar a tentativa por t.)

Passo 4

Calculo as derivadas de x_p passo a passo.
Começando de
x_p(t)=A\sin(2t)+B\cos(2t),
a primeira derivada é
x_p'(t)=2A\cos(2t)-2B\sin(2t).
A segunda derivada é
x_p''(t)=-4A\sin(2t)-4B\cos(2t).

Passo 5

Substituo x_p e x_p'' na equação x''+x=\sin(2t):
x_p''(t)+x_p(t)=\big(-4A\sin(2t)-4B\cos(2t)\big)+\big(A\sin(2t)+B\cos(2t)\big).
Agrupando termos dá
x_p''(t)+x_p(t)=(-4A+A)\sin(2t)+(-4B+B)\cos(2t)=-3A\sin(2t)-3B\cos(2t).
Para que isso seja igual a \sin(2t) para todo t, os coeficientes devem satisfazer o sistema
-3A=1,\qquad -3B=0.
Resolvendo:
A=-\tfrac{1}{3},\qquad B=0.

Passo 6

Portanto a solução particular encontrada é
x_p(t)=-\tfrac{1}{3}\sin(2t).
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=C_1\cos t + C_2\sin t -\tfrac{1}{3}\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que seriam fixadas por condições iniciais se essas fossem dadas.

Resposta

x_p(t)=-\dfrac{1}{3}\sin(2t)\n
x(t)=C_1\cos t + C_2\sin t -\dfrac{1}{3}\sin(2t)

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