Resolva:
ca:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e sugere testar uma solução particular da forma
O que pede a questão (implícito) é: encontrar os coeficientes
e
que tornam
uma solução particular e escrever a solução geral da equação. Informação dada relevante:
- A equação linear de 2ª ordem homogênea associada é
. - A tentativa de solução particular foi fornecida:
.
Passo 2
Primeiro encontro a solução geral da equação homogênea associada, pois a solução geral da não-homogênea será a soma da homogênea com uma particular.
A equação homogênea é
A equação característica é
cuja solução é
. Isso implica que a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais).
Passo 3
Agora uso o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) para achar
e
. Ideia e justificativa rápida e didática:
- O termo forçante é
, que é uma combinação linear de e . - Como frequências da tentativa (
) e da solução homogênea ( ) são diferentes, não há ressonância; portanto a forma proposta é adequada.
(Se houvesse ressonância, por exemplo se o forçante fosse, teríamos que multiplicar a tentativa por .)
Passo 4
Calculo as derivadas de
passo a passo.
Começando de
a primeira derivada é
A segunda derivada é
Passo 5
Substituo
e
na equação
:
Agrupando termos dá
Para que isso seja igual a
para todo
, os coeficientes devem satisfazer o sistema
Resolvendo:
Passo 6
Portanto a solução particular encontrada é
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam fixadas por condições iniciais se essas fossem dadas.