Resolva:
x^{\prime \prime}+4 x=t^{2} Dica: x_{p}=A t^{2}+B t+C.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x'' + 4x = t^{2},
e sugere procurar uma solução particular da forma
x_{p}=A t^{2}+B t+C.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (isto é, a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular). Todas as constantes aparecem como incógnitas (constantes de integração e constantes a determinar na solução particular).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o segundo membro zero):
x''+4x=0.
Explicação do método (muito usada em provas): assume-se uma solução do tipo e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+4=0.
Resolvendo:
r^{2}=-4 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 2\mathrm{i}.
Quando as raízes são puramente imaginárias \pm \mathrm{i}\omega (aqui \omega=2), a solução geral da homogênea é combinação linear de cosseno e seno. Assim a solução geral da parte homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (constantes de integração que serão ajustadas por condições iniciais, se houver).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular x_{p}. Ideia e justificativa didática: o segundo membro é um polinômio de grau 2 em t. Pelo método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), é razoável tentar uma solução particular também polinomial de grau 2,
x_{p}(t)=A t^{2}+B t+C,
porque derivadas de um polinômio produzem polinômios de grau menor ou igual ao original, e assim é possível igualar coeficientes. Antes de aplicar, verificamos se alguma parte desse palpite entra na solução homogênea (ressonância): aqui x_{h} é combinação de \cos(2t) e \sin(2t), que não são polinômios, então não há ressonância e essa forma é adequada.

Passo 4

Calculemos as derivadas de x_{p} e substituamos na equação para determinar A,B,C.
Derivadas:
x_{p}'(t)=2A t + B,
x_{p}''(t)=2A.
Substituindo em x''+4x=t^{2} obtemos
2A + 4\bigl(A t^{2}+B t + C\bigr) = t^{2}.
Agora expandimos e agrupamos termos por potências de t:
4A\,t^{2} + 4B\,t + (2A+4C) = 1\cdot t^{2} + 0\cdot t + 0.

Passo 5

Igualamos coeficientes das potências correspondentes de t. Isso gera um pequeno sistema linear:
  • Coeficiente de t^{2}:
4A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{4}.
  • Coeficiente de t:
4B = 0 \quad\Rightarrow\quad B=0.
  • Termo constante:
2A+4C = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\cdot\frac{1}{4}+4C=0.
Calculando o último:
\frac{1}{2}+4C=0 \quad\Rightarrow\quad 4C=-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C=-\frac{1}{8}.
Portanto a solução particular encontrada é
x_{p}(t)=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{1}{8}.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)+\frac{1}{4}t^{2}-\frac{1}{8},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

x(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)+\dfrac{1}{4}t^{2}-\dfrac{1}{8}

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