Resolva:
Dica:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e sugere procurar uma solução particular da forma
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (isto é, a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular). Todas as constantes aparecem como incógnitas (constantes de integração e constantes a determinar na solução particular).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o segundo membro zero):
Explicação do método (muito usada em provas): assume-se uma solução do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo:
Quando as raízes são puramente imaginárias
(aqui
), a solução geral da homogênea é combinação linear de cosseno e seno. Assim a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (constantes de integração que serão ajustadas por condições iniciais, se houver).
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
. Ideia e justificativa didática: o segundo membro é um polinômio de grau
em
. Pelo método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), é razoável tentar uma solução particular também polinomial de grau
,
porque derivadas de um polinômio produzem polinômios de grau menor ou igual ao original, e assim é possível igualar coeficientes. Antes de aplicar, verificamos se alguma parte desse palpite entra na solução homogênea (ressonância): aqui
é combinação de
e
, que não são polinômios, então não há ressonância e essa forma é adequada.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
e substituamos na equação para determinar
.
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo em
obtemos
Agora expandimos e agrupamos termos por potências de
:
Passo 5
Igualamos coeficientes das potências correspondentes de
. Isso gera um pequeno sistema linear:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Calculando o último:
Portanto a solução particular encontrada é
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas.