Um ioiô de massa
, raio interno
, raio externo
e momento de inércia
em relação a seu centro de massa, é puxado pelo fio enrolado em seu eixo central, de forma a rolar sem deslizamento sobre uma mesa horizontal, através de uma força
que faz um ângulo
com a horizontal.
(b) Calcule a aceleração angular
do ioiô.
(b) Calcule a aceleração angular
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: temos um ioiô de massa
, raio interno
, raio externo
e momento de inércia
em relação ao centro. Ele anda rolando sem deslizar sobre a mesa, e você puxa o fio enrolado no eixo com uma força
que faz um ângulo
com a horizontal.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Segunda lei de Newton para translação (
). - Lei de Newton para rotação (
). - Condição de rolamento sem deslizamento (
). - Definição de torque
e decomposição de forças.
Passo 2
Desenhando o diagrama de forças no ioiô:
- A força
aplicada no eixo tem componente horizontal (puxa para a direita) e vertical . - A força de atrito estático
na base, que impede o “deslize” — como o fio tende a girar o ioiô e fazer a roda escorregar para a direita, o atrito estático age para a esquerda. - Peso
e normal que se equilibram verticalmente.
A equação de Newton na direção horizontal (escolhendo “para a direita” como sinal positivo) é
Passo 3
Agora a parte da rotação. Tomamos torques em torno do centro do ioiô, com sentido positivo para as rotações que desenrolam o fio (digamos, sentido anti-horário). Temos dois torques:
- O torque da força
no raio interno , que é . - O torque do atrito
no raio externo , que atua no sentido oposto, .
Pela lei da rotação:
Passo 4
Como não há deslizamento, a aceleração linear
da roda e a aceleração angular
estão ligadas por
Passo 5
Agora é só juntar tudo e resolver para
.
- Da eq. de translação:
- Substituo esse
na eq. de rotação:
- Junto os termos com
de um lado:
- Finalmente isolamos
:
Resposta
[
\boxed{
\alpha
\frac{F,(R\cos\varphi - r)}{M,R^2 ;-; I_{CM}}
}.
]
}.
]