Um ioiô de massa M, raio interno r, raio externo R e momento de inércia ICM em relação a seu centro de massa, é puxado pelo fio enrolado em seu eixo central, de forma a rolar sem deslizamento sobre uma mesa horizontal, através de uma força F que faz um ângulo varphi com a horizontal.
(b) Calcule a aceleração angular alpha do ioiô.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos um ioiô de massa , raio interno , raio externo e momento de inércia em relação ao centro. Ele anda rolando sem deslizar sobre a mesa, e você puxa o fio enrolado no eixo com uma força que faz um ângulo com a horizontal.
Conteúdo que vamos usar:
  • Segunda lei de Newton para translação ( ).
  • Lei de Newton para rotação ( ).
  • Condição de rolamento sem deslizamento ( ).
  • Definição de torque e decomposição de forças.

Passo 2

Desenhando o diagrama de forças no ioiô:
  1. A força Fcosvarphi ;-; f ;=; M,a aplicada no eixo tem componente horizontal (puxa para a direita) e vertical .
  2. A força de atrito estático na base, que impede o “deslize” — como o fio tende a girar o ioiô e fazer a roda escorregar para a direita, o atrito estático age para a esquerda.
  3. Peso e normal que se equilibram verticalmente.
A equação de Newton na direção horizontal (escolhendo “para a direita” como sinal positivo) é

Passo 3

Agora a parte da rotação. Tomamos torques em torno do centro do ioiô, com sentido positivo para as rotações que desenrolam o fio (digamos, sentido anti-horário). Temos dois torques:
  • O torque da força r,F ;-; f,R ;=; ICM,alpha no raio interno , que é .
  • O torque do atrito no raio externo , que atua no sentido oposto, .
Pela lei da rotação:

Passo 4

Como não há deslizamento, a aceleração linear a ;=; alpha,R da roda e a aceleração angular estão ligadas por

Passo 5

Agora é só juntar tudo e resolver para f ;=; Fcosvarphi ;-; M,a ;=; Fcosvarphi ;-; M,(alpha R) .
  1. Da eq. de translação:
r,F ;-; l[Fcosvarphi - M,alpha Rr]R ;=; ICM,alpha Longrightarrow rF ;-; R,Fcosvarphi ;+; M,R^2,alpha ;=; ICM,alpha
  1. Substituo esse M,R^2,alpha ;-; ICM,alpha ;=; R,Fcosvarphi ;-; r,F Longrightarrow alpha,(M,R^2 - ICM) ;=; F,(Rcosvarphi - r) na eq. de rotação:
  1. Junto os termos com de um lado:
  1. Finalmente isolamos :

Resposta

[
\boxed{
\alpha

\frac{F,(R\cos\varphi - r)}{M,R^2 ;-; I_{CM}}
}.
]

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