Um ioiô de massa
, raio interno
, raio externo
e momento de inércia
em relação a seu centro de massa, é puxado pelo fio enrolado em seu eixo central, de forma a rolar sem deslizamento sobre uma mesa horizontal, através de uma força
que faz um ângulo
com a horizontal.
© Mostre que existe um ângulo crítico
tal que, conforme a magnitude de
em relação a
, o fio se desenrola ou enrola, e o ioiô avança ou recua. Que acontece para
?
© Mostre que existe um ângulo crítico
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um ioiô (massa
) com eixo interno de raio
, externo de raio
e momento de inércia
. A gente puxa o fio com uma força
que faz um ângulo
com a horizontal, e ele rola sem deslizar. Na parte © temos que mostrar que existe um ângulo crítico
tal que, dependendo se
ou
, o fio enrola ou desenrola, e o ioiô anda para frente ou para trás. Se
, o que rola?
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Equilíbrio de forças (2.ª lei de Newton
). - Torques e rotação (
). - Condição de rolamento sem deslizamento (
).
Passo 2
Primeiro, escolhemos eixo horizontal positivo para a frente e analisamos as forças no centro do ioiô:
- Força de tração
decompondo em horizontal: . - Força de atrito estático
no ponto de contato (sinal a definir).
Então, pela 2.ª lei de Newton na direção horizontal:
Aqui
é a aceleração do centro de massa.
Passo 3
Agora as torques em torno do centro:
- O fio aplica um torque
(tende a girar o ioiô no sentido de enrolar/desenrolar). - O atrito dá um torque
.
Pela equação de rotação:
E a condição de rolamento sem deslizar é
Passo 4
A gente isola
da (1):
Substitui em (2) e usa (3) (
):
Expandindo:
Agrupando termos em
:
Logo a aceleração vale
[
a
\frac{F,(r - R\cos\varphi)}{\dfrac{I_{CM}}{R}+M,R}
\frac{F,R,(r - R\cos\varphi)}{I_{CM} + M,R^2}.
]
]
Passo 5
Repare que o sinal de
(para frente positivo) é dado pelo fator
.
- Se
, então : ioiô avança e o fio desenrola. - Se
, então : ioiô recua e o fio enrola.
O valor crítico ocorre quando
, ou seja
Passo 6
No caso
temos
, daí
e
: não há aceleração nem rotação extra. O ioiô permanece em movimento retilíneo uniforme (ou parado, se já estava parado), sem enrolar nem desenrolar.
Resposta
Ângulo crítico:
Para
: fio enrola e ioiô recua.
Para : fio desenrola e ioiô avança.
Em :
, não há nem enrolar nem desenrolar.
Para
Em