Um ioiô de massa M, raio interno r, raio externo R e momento de inércia ICM em relação a seu centro de massa, é puxado pelo fio enrolado em seu eixo central, de forma a rolar sem deslizamento sobre uma mesa horizontal, através de uma força F que faz um ângulo varphi com a horizontal.
© Mostre que existe um ângulo crítico varphi0 tal que, conforme a magnitude de varphi em relação a varphi0, o fio se desenrola ou enrola, e o ioiô avança ou recua. Que acontece para varphi=varphi0 ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um ioiô (massa ) com eixo interno de raio , externo de raio e momento de inércia . A gente puxa o fio com uma força que faz um ângulo com a horizontal, e ele rola sem deslizar. Na parte © temos que mostrar que existe um ângulo crítico tal que, dependendo se ou , o fio enrola ou desenrola, e o ioiô anda para frente ou para trás. Se , o que rola?
Conteúdo que vamos usar:
  • Equilíbrio de forças (2.ª lei de Newton ).
  • Torques e rotação ( ).
  • Condição de rolamento sem deslizamento ( ).

Passo 2

Primeiro, escolhemos eixo horizontal positivo para a frente e analisamos as forças no centro do ioiô:
  1. Força de tração Fcosvarphi - f ;=; M,a (1) decompondo em horizontal: .
  2. Força de atrito estático no ponto de contato (sinal a definir).
    Então, pela 2.ª lei de Newton na direção horizontal:
Aqui é a aceleração do centro de massa.

Passo 3

Agora as torques em torno do centro:
  • O fio aplica um torque F,r ;-; f,R ;=; ICM,alpha (2) (tende a girar o ioiô no sentido de enrolar/desenrolar).
  • O atrito dá um torque a ;=;alpha,R (3) .
    Pela equação de rotação:
E a condição de rolamento sem deslizar é

Passo 4

A gente isola f = Fcosvarphi - M,a da (1):
F,r ;-;(Fcosvarphi - M,a),R ,=, ICM,aR
Substitui em (2) e usa (3) ( F,r - F,Rcosvarphi + M,a,R = ICMR,a ):
F,(r - Rcosvarphi) = a!l(ICMR + M,Rr)
Expandindo:
a = F,(r - Rcosvarphi)dfracICMR+M,R = F,R,(r - Rcosvarphi)ICM + M,R^2
Agrupando termos em :

Logo a aceleração vale
[
a

\frac{F,(r - R\cos\varphi)}{\dfrac{I_{CM}}{R}+M,R}

\frac{F,R,(r - R\cos\varphi)}{I_{CM} + M,R^2}.
]

Passo 5

Repare que o sinal de cosvarphi0 = rR (para frente positivo) é dado pelo fator .
  • Se , então : ioiô avança e o fio desenrola.
  • Se , então : ioiô recua e o fio enrola.
O valor crítico ocorre quando , ou seja

Passo 6

No caso temos , daí e : não há aceleração nem rotação extra. O ioiô permanece em movimento retilíneo uniforme (ou parado, se já estava parado), sem enrolar nem desenrolar.

Resposta

Ângulo crítico:
boxedvarphi0 = arccos!l(tfracrRr)
Para : fio enrola e ioiô recua.
Para : fio desenrola e ioiô avança.
Em : , não há nem enrolar nem desenrolar.

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