Um ioiô possui um momento de inércia de 2,4 g m 2 e uma massa de 115,7 g. O raio de seu eixo é 7,8 mm e sua corda tem 148,1 cm de comprimento. O iôiô rola, a partir do repouso, até a extremidade da corda, com aceleração constante igual a 100 m / s^2. Ao chegar à extremidade da corda, qual é a energia total do sistema (energia cinética de transtaçao e rotaçao)? Considere a acelaraçao da gravidade igual a 9.8 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ioiô com certas características e precisa encontrar a energia total do sistema quando ele chega na extremidade da corda. Vamos precisar usar conceitos de cinética de translação e cinética de rotação, além de converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar todos os dados que temos e converter as unidades para o SI:
  • Momento de inércia (I): 2,4 g·m² → Para converter para kg·m², dividimos por 1000: I = 2,4 , g·m² = 0,0024 , kg·m² ²²
  • Massa (m): 115,7 g → Convertendo para kg: m = 115,7 , g = 0,1157 , kg
  • Raio do eixo ®: 7,8 mm → Convertendo para metros: r = 7,8 , mm = 0,0078 , m
  • Comprimento da corda (L): 148,1 cm → Convertendo para metros: L = 148,1 , cm = 1,481 , m
  • Aceleração (a): 100 m/s² (já está no SI)
  • Aceleração da gravidade (g): 9,8 m/s² (já está no SI)

Passo 3

Vamos descobrir a velocidade final do ioiô quando ele chega na extremidade da corda. Sabemos que ele parte do repouso, então a velocidade inicial ( v0) é 0. Podemos usar a equação do movimento:
v^2 = v0^2 + 2aL
Como v0 = 0:
v = raiz2aL
Substituindo os valores:
v = raiz2 times 100 , m/s² times 1,481 , m = raiz296,2 approx 17,21 , m/s ²

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética de translação ( Etrans) do ioiô usando a fórmula:
Etrans = 12mv^2
Substituindo os valores:
Etrans = 12 times 0,1157 , kg times (17,21 , m/s)^2 approx 12 times 0,1157 times 296,2 approx 17,13 , J

Passo 5

Para calcular a energia cinética de rotação ( Erot), primeiro precisamos encontrar a velocidade angular ( omega) do ioiô. A relação entre a velocidade linear ( v) e a velocidade angular é:
omega = vr
Substituindo:
omega = 17,21 , m/s0,0078 , m approx 2206,41 , rad/s

Passo 6

Agora, calculamos a energia cinética de rotação:
Erot = 12Iomega^2
Substituindo os valores:
Erot = 12 times 0,0024 , kg·m² times (2206,41 , rad/s)^2 approx 12 times 0,0024 times 4.868 times 10^6 approx 5841,6 , J ²

Passo 7

Finalmente, a energia total do sistema é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
Etotal = Etrans + Erot approx 17,13 , J + 5841,6 , J approx 5858,73 , J

Resposta

A energia total do sistema quando o ioiô chega à extremidade da corda é aproximadamente 5858,73 J.

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