Uma irmã roda seu irmão, formando um círculo de raio R com uma velocidade angular omegai. Em seguida, a irmã diminui sua velocidade angular para dfrac14omegai com o mesmo raio. Como se dá a variação na aceleração centrípeta do irmão quando a irmã diminui a velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma irmã que está girando seu irmão em um círculo com raio $ R $ usando uma velocidade angular inicial $ \omega_i $. Depois, ela diminui essa velocidade para $ \dfrac{1}{4}\omega_i $, mas mantém o mesmo raio. Nosso objetivo aqui é descobrir como a aceleração centrípeta do irmão muda quando a velocidade é reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é aceleração centrípeta. Quando um objeto se move em um círculo, ele está constantemente mudando de direção, o que gera uma aceleração direcionada para o centro do círculo. A fórmula para calcular a aceleração centrípeta ($ a_c $) é:
ac
Onde:
  • $ \omega $ é a velocidade angular.
  • $ R $ é o raio da trajetória circular.

Passo 3

Vamos calcular a aceleração centrípeta inicial ($ a_{c_i} aci \omega_i $):
omegai

Passo 4

Agora, a irmã diminui a velocidade angular para $ \dfrac{1}{4}\omega_i $. Vamos chamar essa nova velocidade de $ \omega_f $:
dfrac14omegai
Vamos calcular a nova aceleração centrípeta ($ a_{c_f} $) com essa velocidade:
omegaf

Passo 5

Para encontrar a variação na aceleração centrípeta, comparamos a aceleração final com a inicial:
dfracacfaci = dfracdfrac116omegai^2 Romegai^2 R = dfrac116
Isso significa que a aceleração centrípeta final é dfrac116 vezes a aceleração inicial.

Resposta

A aceleração centrípeta do irmão diminui para dfrac116 do seu valor inicial quando a irmã reduz a velocidade angular.

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