Uma das aplicações do cálculo de integrais definidas é na realização de estimativas de áreas sob curvas a partir de um intervalo e de uma função. Diante disso, estime a área sob o gráfico de f(x) = x^2 de x = 1 até x = 5, usando quatro retângulos de aproximação e os extremos direitos.
a. A área é de 1,283.
b. A área é de 2,083.
c. A área é de 1,28333333…
d. A área é de 2,08333333…
e. A área é de 1,54.
a. A área é de 1,283.
b. A área é de 2,083.
c. A área é de 1,28333333…
d. A área é de 2,08333333…
e. A área é de 1,54.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimar a área sob o gráfico da função $ f(x) = x^2 $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 5 $. Para isso, vamos usar quatro retângulos para aproximar essa área, utilizando os extremos direitos desses retângulos. Vamos precisar entender um pouco sobre somas de Riemann e como elas ajudam a estimar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 5 $ em quatro partes iguais. Isso vai nos ajudar a determinar a largura de cada retângulo que vamos usar para a aproximação.
A largura de cada retângulo ($ \Delta x $) é calculada pela fórmula:
onde:
- $ a = 1 $ (início do intervalo)
- $ b = 5 $ (fim do intervalo)
- $ n = 4 $ (número de retângulos)
Então:
Cada retângulo terá uma largura de 1 unidade.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos onde vamos calcular as alturas dos retângulos. Como estamos usando os extremos direitos, vamos pegar o valor de $ x $ no final de cada subintervalo.
Os subintervalos são:
- De 1 a 2
- De 2 a 3
- De 3 a 4
- De 4 a 5
Então, os extremos direitos são: $ x = 2 $, $ x = 3 $, $ x = 4 $ e $ x = 5 $.
Passo 4
Vamos calcular a altura de cada retângulo usando a função $ f(x) = x^2 $ nos pontos que identificamos.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área de cada retângulo multiplicando a largura ($ \Delta x = 1 $) pela altura correspondente.
Então:
Resposta
A área estimada sob o gráfico de $ f(x) = x^2 $ de $ x = 1 $ até $ x = 5 $, usando quatro retângulos com extremos direitos, é 54.