O ponto triplo do iodo ( \mathrm{I}_{2} ) ocorre a 112,9^{\circ} \mathrm{C} e 11,57 \mathrm{kPa}. O calor de fusão no ponto triplo é 15,27 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} e são disponíveis os dados de pressão de vapor para o iodo sólido listados na tabela abaixo. Calcule a temperatura normal de ebulição do iodo.
\mathrm{P} / \mathrm{kPa} 2,67 5,33 8,00
\mathrm{t} /{ }^{\circ} \mathrm{C} 84,7 97,5 105,4

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados do ponto triplo do iodo:
    • Pressão: P_{\text{tr}}=11{,}57\\ \mathrm{kPa}.
    • Temperatura: t_{\text{tr}}=112{,}9^\circ\mathrm{C}. Vou converter para Kelvin: T_{\text{tr}}=112{,}9+273{,}15=386{,}05\\ \mathrm{K}.
  • Calor de fusão (no ponto triplo): \Delta H_{\text{fus}}=15{,}27\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}=15270\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
  • Tabela de pressão de vapor do iodo sólido (peguei estes números da tabela do enunciado):
    • P=2{,}67\\ \mathrm{kPa} em t=84{,}7^\circ\mathrm{C}\Rightarrow T_1=357{,}85\\ \mathrm{K}.
    • P=5{,}33\\ \mathrm{kPa} em t=97{,}5^\circ\mathrm{C}\Rightarrow T_2=370{,}65\\ \mathrm{K}.
    • P=8{,}00\\ \mathrm{kPa} em t=105{,}4^\circ\mathrm{C}\Rightarrow T_3=378{,}55\\ \mathrm{K}.
  • Pressão normal de ebulição que queremos atingir: P_{\text{b}}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • Objetivo: calcular a temperatura normal de ebulição t_{\text{b}} (em °C), isto é, a temperatura em que o vapor está em equilíbrio com o líquido à pressão 101{,}325\\ \mathrm{kPa}.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Ideia geral: os dados da tabela são pressões de equilíbrio sólido–gás (sublimação). Usando a relação de Clausius–Clapeyron assumindo entalpias aproximadamente constantes, podemos obter a entalpia de sublimação \Delta H_{\text{sub}} a partir do declive da reta \ln P versus 1/T para o sólido:
    \ln P_s = -\frac{\Delta H_{\text{sub}}}{R}\cdot\frac{1}{T} + C.
    Aqui P_s é a pressão de vapor em equilíbrio com o sólido, T é a temperatura absoluta, R é a constante dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}) e C é uma constante.
    Na prática, se plotarmos \ln P_s contra 1/T a inclinação é -\Delta H_{\text{sub}}/R.
  • Relação entre entalpias: a entalpia de sublimação é soma da entalpia de fusão com a de vaporização:
    \Delta H_{\text{sub}} = \Delta H_{\text{fus}} + \Delta H_{\text{vap}}.
    Portanto, quando tivermos \Delta H_{\text{sub}} podemos obter \Delta H_{\text{vap}}.
  • Uma maneira prática de obter a temperatura de ebulição a partir do ponto triplo é usar a forma integrada da equação de Clausius–Clapeyron para o equilíbrio líquido–gás, tomando o ponto triplo como referência:
    \ln\frac{P}{P_{\text{tr}}} = -\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\text{tr}}}\right).
    Nessa fórmula P é a pressão de interesse (aqui P_{\text{b}}), T a temperatura correspondente (aqui T_{\text{b}}); \Delta H_{\text{vap}} é a entalpia de vaporização (assumida aproximadamente constante no intervalo). Isolando 1/T:
    \frac{1}{T} = \frac{1}{T_{\text{tr}}} - \frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\ln\frac{P}{P_{\text{tr}}}.
    Depois \;T_b=1/(1/T) e t_b=T_b-273{,}15.
  • Resumo do procedimento numérico:
    1. Usar os dados sólidos para estimar \Delta H_{\text{sub}} via inclinação de \ln P_s vs 1/T.
    2. Calcular \Delta H_{\text{vap}}=\Delta H_{\text{sub}}-\Delta H_{\text{fus}}.
    3. Usar a equação acima com P=P_{\text{b}} e P_{\text{tr}} para achar T_b e então t_b.

Passo 3

Cálculo de \Delta H_{\text{sub}} a partir dos dados do sólido (aplico Clausius–Clapeyron entre os pontos extremos para maior intervalo):
  • Primeiro converto temperaturas e calculo 1/T: T_1=84{,}7+273{,}15=357{,}85\\ \mathrm{K},\quad \frac{1}{T_1}=0{,}00279524\\ \mathrm{K^{-1}}.
T_3=105{,}4+273{,}15=378{,}55\\ \mathrm{K},\quad \frac{1}{T_3}=0{,}00264199\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Calculo \ln P (pressões em kPa; a unidade dentro do ln é irrelevante porque aparece em razão mais tarde): \ln P_1=\ln(2{,}67)=0{,}980829\quad(\text{aprox.}),
\ln P_3=\ln(8{,}00)=2{,}079442.
  • A inclinação da reta \ln P_s vs 1/T entre 1 e 3 é m=\frac{\ln P_3-\ln P_1}{\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_1}} =\frac{2{,}079442-0{,}980829}{0{,}00264199-0{,}00279524} =\frac{1{,}098613}{-0{,}00015325}=-7{,}171{,}9\\ (\text{aprox.}).
  • Pela forma teórica, m=-\dfrac{\Delta H_{\text{sub}}}{R}. Assim \Delta H_{\text{sub}} = -m\,R = 7{,}171{,}9\times 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} \approx 59{,}63\times 10^{3}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} =59{,}63\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
(Comentário: usar os dois pontos extremos reduz o erro de extrapolação; usar os outros pares daria valor similar — a diferença é pequena.)

Passo 4

Determinar \Delta H_{\text{vap}} a partir de \Delta H_{\text{sub}} e \Delta H_{\text{fus}}:
\Delta H_{\text{vap}}=\Delta H_{\text{sub}}-\Delta H_{\text{fus}} =59{,}63\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}-15{,}27\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} =44{,}36\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
Em unidades do SI: \Delta H_{\text{vap}}=44{,}36\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.

Passo 5

Calcular a temperatura de ebulição T_b usando a equação integrada da Clausius–Clapeyron com referência no ponto triplo:
  • Escrevo a equação e isolo 1/T_b: \ln\frac{P_{\text{b}}}{P_{\text{tr}}} = -\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\!\left(\frac{1}{T_b}-\frac{1}{T_{\text{tr}}}\right)
\Rightarrow \frac{1}{T_b} = \frac{1}{T_{\text{tr}}} - \frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\ln\frac{P_{\text{b}}}{P_{\text{tr}}}.
  • Calculo dos termos numéricos: \frac{P_{\text{b}}}{P_{\text{tr}}}=\frac{101{,}325}{11{,}57}\approx 8{,}7566,
\ln\frac{P_{\text{b}}}{P_{\text{tr}}}\approx 2{,}16998.
\frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}=\frac{8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}}{44{,}36\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}} \approx 1{,}8754\times10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}.
\frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\ln\frac{P_{\text{b}}}{P_{\text{tr}}} \approx 1{,}8754\times10^{-4}\times 2{,}16998 \approx 4{,}069\times10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}.
\frac{1}{T_{\text{tr}}}=\frac{1}{386{,}05\\ \mathrm{K}} \approx 0{,}00259098\\ \mathrm{K^{-1}}.
\frac{1}{T_b}=0{,}00259098 - 0{,}0004069 = 0{,}00218408\\ \mathrm{K^{-1}}.
T_b=\frac{1}{0{,}00218408}\approx 457{,}80\\ \mathrm{K}.
  • Converter para °C: t_b = T_b - 273{,}15 \approx 457{,}80 - 273{,}15 = 184{,}65^\circ\mathrm{C}.

Resposta

t_{\text{b}}\approx 184{,}7^\circ\mathrm{C}

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