Qual (is) das seguintes afirmações sobre matrizes, sistemas lineares e determinantes são corretas?
Escolha uma ou mais:
a. A multiplicação de matrizes é comutativa, ou seja,
.
b. O determinante de uma matriz é a soma de seus elementos.
c. A matriz adjunta de uma matriz
, denotada por
, é usada para calcular a matriz inversa através da fórmula
.
d. Multiplicar uma matriz pelo sua inversa resulta em uma matriz nula.
e. A matriz identidade tem zeros na diagonal principal.
a. A multiplicação de matrizes é comutativa, ou seja,
b. O determinante de uma matriz é a soma de seus elementos.
c. A matriz adjunta de uma matriz
d. Multiplicar uma matriz pelo sua inversa resulta em uma matriz nula.
e. A matriz identidade tem zeros na diagonal principal.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre propriedades de matrizes, sistemas lineares e determinantes, e pede para identificar quais são corretas. O conteúdo envolve:
- Propriedades de multiplicação de matrizes;
- Definição de determinante;
- Fórmula de inversão usando a matriz adjunta
; - Propriedades da matriz inversa;
- Estrutura da matriz identidade.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “A multiplicação de matrizes é comutativa, ou seja,
.”
Em geral, para matrizes e
de tamanho compatível, não se tem
. A comutatividade só ocorre em casos muito especiais (por exemplo, quando ambas são diagonalizáveis num mesmo autovetor ou quando uma é múltiplo escalar da outra). Logo, (a) é falsa.
Em geral, para matrizes
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “O determinante de uma matriz é a soma de seus elementos.”
Definição de determinante envolve somas de produtos de entradas com sinais, não é simplesmente a soma dos elementos da matriz. Portanto, (b) é falsa.
Definição de determinante envolve somas de produtos de entradas com sinais, não é simplesmente a soma dos elementos da matriz. Portanto, (b) é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “A matriz adjunta de uma matriz
, denotada por
, é usada para calcular a matriz inversa através da fórmula
”
Essa é justamente a fórmula clássica para a inversa de uma matriz quadrada com . Logo, (c) é verdadeira.
Essa é justamente a fórmula clássica para a inversa de uma matriz quadrada com
Passo 5
Analisando a afirmação (d): “Multiplicar uma matriz pelo sua inversa resulta em uma matriz nula.”
O produto de pela sua inversa
gera a matriz identidade
, não a matriz nula
. Portanto, (d) é falsa.
O produto de
Passo 6
Analisando a afirmação (e): “A matriz identidade tem zeros na diagonal principal.”
Pelo contrário, a matriz identidade tem exatamente uns
na diagonal principal e zeros fora dela. Assim, (e) é falsa.
Pelo contrário, a matriz identidade
Resposta
(c)