Qual (is) das seguintes afirmações sobre matrizes, sistemas lineares e determinantes são corretas?
Escolha uma ou mais:
a. A multiplicação de matrizes é comutativa, ou seja, A B=B A.
b. O determinante de uma matriz é a soma de seus elementos.
c. A matriz adjunta de uma matriz A, denotada por \operatorname{adj}(A), é usada para calcular a matriz inversa através da fórmula A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \cdot \operatorname{adj}(A).
d. Multiplicar uma matriz pelo sua inversa resulta em uma matriz nula.
e. A matriz identidade tem zeros na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre propriedades de matrizes, sistemas lineares e determinantes, e pede para identificar quais são corretas. O conteúdo envolve:
  • Propriedades de multiplicação de matrizes;
  • Definição de determinante;
  • Fórmula de inversão usando a matriz adjunta \operatorname{adj}(A);
  • Propriedades da matriz inversa;
  • Estrutura da matriz identidade.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “A multiplicação de matrizes é comutativa, ou seja, AB = BA.”
Em geral, para matrizes A e B de tamanho compatível, não se tem AB=BA. A comutatividade só ocorre em casos muito especiais (por exemplo, quando ambas são diagonalizáveis num mesmo autovetor ou quando uma é múltiplo escalar da outra). Logo, (a) é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “O determinante de uma matriz é a soma de seus elementos.”
Definição de determinante envolve somas de produtos de entradas com sinais, não é simplesmente a soma dos elementos da matriz. Portanto, (b) é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “A matriz adjunta de uma matriz A, denotada por \operatorname{adj}(A), é usada para calcular a matriz inversa através da fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\operatorname{adj}(A).

Essa é justamente a fórmula clássica para a inversa de uma matriz quadrada com \det(A)\neq 0. Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação (d): “Multiplicar uma matriz pelo sua inversa resulta em uma matriz nula.”
O produto de A pela sua inversa A^{-1} gera a matriz identidade I, não a matriz nula 0. Portanto, (d) é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmação (e): “A matriz identidade tem zeros na diagonal principal.”
Pelo contrário, a matriz identidade I tem exatamente uns 1 na diagonal principal e zeros fora dela. Assim, (e) é falsa.

Resposta

(c)

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