As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{ll}3 & x \\\\ 2 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & x\\\\ 2 & 1\\\\ 1 & y \end{pmatrix}
e pede os valores de x e y tais que o sistema
A\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_{1}\b_{2}\b_{3}\end{pmatrix}
tenha apenas casos de “nenhuma solução” ou “infinitas soluções” dependendo do vetor \boldsymbol b. Para isso, vamos usar o fato de que o número de soluções depende dos postos de A e de [A\mid \boldsymbol b].

Passo 2

Para que não haja solução única (mas apenas 0 ou infinitas), é preciso ter
\mathrm{rank}(A) < \text{número de incógnitas} = 2.úó
Como \mathrm{rank}(A) é inteiro, devemos ter
\mathrm{rank}(A)=1.

Passo 3

Posto 1 significa que as colunas de A são linearmente dependentes. Sejam
\mathbf{c}_1 = \begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{c}_2 = \begin{pmatrix}x\\\ 1\y\end{pmatrix}.
Existe k\neq0 tal que \mathbf{c}_2 = k\,\mathbf{c}_1. Assim
x = 3k,\quad 1 = 2k,\quad y = 1\cdot k.
Da segunda igualdade vem k = \tfrac12. Logo
x = \tfrac32,\quad y = \tfrac12.

Passo 4

Com x=\tfrac32 e y=\tfrac12, temos \mathrm{rank}(A)=1. Então o sistema é
– consistente (infinitas soluções) se e somente se \boldsymbol b pertence à imagem de A, isto é
\boldsymbol b = \lambda\,(3,2,1)^T
para algum \lambda;
– inconsistente (nenhuma solução) caso contrário.

Resposta

x = \tfrac32 e y = \tfrac12.

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