Isabela precisa pagar três prestações mensais iguais e consecutivas de cada, sendo a primeira para 30 dias para quitar sua dívida em um banco. Se resolvesse quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a três meses, qual seria o valor desse pagamento, se a taxa de juros efetiva fosse de 5% a.m.? Represente a situação em um fluxo de caixa.

Passo 1

O problema diz que a Isabela vai pagar três prestações iguais de $ 3.500 cada, em meses 1, 2 e 3, a uma taxa de juros compostos de 5 % ao mês. A pergunta é: em vez dessas três prestações, qual seria o valor único que ela pagaria “daqui a três meses” (i.e., no instante 3)?
Conteúdo: juros compostos e valor futuro (acumulação) de pagamentos. Vamos precisar da fórmula
FV = PV,(1+i)^n
e somar o valor futuro de cada prestação até o mês 3.

Passo 2

Representação do fluxo de caixa original (em meses):
– Mês 1: saída de $ 3.500
– Mês 2: saída de $ 3.500
– Mês 3: saída de $ 3.500
Queremos substituir esse fluxo por uma única saída no mês 3, de valor $ X, de modo que os dois fluxos sejam equivalentes a juros de 5 % a.m.

Passo 3

Teoria de juros compostos:
Se você tem um valor presente PV e deixa ele render à taxa i por n períodos, o valor futuro é
FV = PV,(1 + i)^n
Aqui cada prestação de $ 3.500 é um PV que vai render até o mês 3:
  • A prestação do mês 1 ( meses de acumulação);
  • A do mês 2 ( mês de acumulação);
  • A do mês 3 ( , pois já está no instante 3).

Passo 4

Calculando o valor futuro de cada prestação no mês 3:
FV1 &= 3.500,(1 + 0,05)^2, FV2 &= 3.500,(1 + 0,05)^1, FV3 &= 3.500,(1 + 0,05)^0 = 3.500
Vamos aos números:
(1 + 0,05)^2 = 1,1025, (1 + 0,05)^1 = 1,05
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FV1 &= 3.500 times 1,1025 = 3.858,75, FV2 &= 3.500 times 1,05 = 3.675, FV3 &= 3.500

Passo 5

Somando todos os valores futuros no mês 3, obtemos o pagamento único equivalente:
X = 3.858,75 + 3.675 + 3.500 = 11.033,75

Resposta

O valor único que Isabela pagaria daqui a três meses é $ 11.033,75.

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