Para
, calcule:
a)
;
b)
c)
valor de
tal que
.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média 100 e variância 100, ou seja, $ X \sim N(100, 100) $. O que a gente precisa fazer aqui é calcular algumas probabilidades específicas relacionadas a essa distribuição normal. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição normal, usar a padronização para transformar nossos valores em escores $ z $, e então utilizar tabelas de distribuição normal ou funções de cálculo para encontrar as probabilidades. Vamos lá!
Passo 2
a) Calcular $ \mathrm{P}(X \leqslant 115) $
Primeiro, queremos saber a probabilidade de que $ X $ seja menor ou igual a 115. Como $ X $ é uma variável normal, podemos transformar esse valor em um escore $ z $ para facilitar o cálculo.
A fórmula para encontrar o escore $ z $ é:
Onde:
- $ \mu $ é a média (100)
- $ \sigma $ é o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. Como a variância é 100, $ \sigma = \sqrt{100} = 10 $.
Substituindo os valores:
Agora, queremos encontrar $ \mathrm{P}(Z \leq 1,5) $, onde $ Z $ segue a distribuição normal padrão $ N(0,1) $. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, descobrimos que:
Passo 3
b) Calcular $ \mathrm{P}(|X - 100| \leqslant 10) $
Aqui, queremos a probabilidade de que $ X $ esteja dentro de 10 unidades da média, ou seja, entre 90 e 110. Vamos calcular essa probabilidade em duas partes usando a padronização.
Primeiro, transformamos os limites em escores $ z $:
Para $ X = 90 $:
Para $ X = 110 $:
Agora, queremos encontrar $ \mathrm{P}(-1 \leq Z \leq 1) $. Sabemos que:
Consultando a tabela de distribuição normal:
Então:
Passo 4
c) Encontrar o valor de $ a $ tal que $ \mathrm{P}(100 - a \leq X \leq 100 + a) = 0,95 $
Nesse caso, queremos encontrar o intervalo ao redor da média que capta 95% da distribuição. Primeiro, padronizamos os limites usando a mesma fórmula de escore $ z $:
Queremos que a probabilidade entre $ -z $ e $ z $ seja 0,95:
Sabemos que para a distribuição normal padrão, aproximadamente 95% dos dados estão dentro de $ \pm 1,96 $ desvios padrão da média. Então:
Agora, resolvemos para $ a $:
Resposta
a) $ \mathrm{P}(X \leqslant 115) \approx 0,9332 $
b) $ \mathrm{P}(|X - 100| \leqslant 10) \approx 0,6826 $
c) O valor de $ a $ é aproximadamente 19,6.