Considerando duas reações que ocorrem em temperatura ambiente. Determine a razão entre as constantes de velocidade para as duas reações que apresentam o mesmo valor do fator pré-exponencial, mas que os valores da Ea diferem em 10 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol}. Explique as respostas em termos de efeito sobre as velocidades das reações

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se a razão entre as constantes de velocidade para duas reações que ocorrem à temperatura ambiente e que têm o mesmo fator pré-exponencial A, mas cujas energias de ativação diferem em 10\\ \mathrm{kcal/mol}.
  • Informações relevantes fornecidas (ou que vou assumir razoavelmente):
    • Diferença de energia de ativação: \Delta E_a = 10\\ \mathrm{kcal/mol}.
    • Temperatura ambiente (assumida aqui): T = 25^\circ\mathrm{C} = 298\\ \mathrm{K}.
    • O fator pré-exponencial é igual para as duas reações, ou seja, A_1 = A_2.

Passo 2

Fórmula que vou usar e explicação didática:
  • A equação de Arrhenius relaciona a constante de velocidade k com o fator pré-exponencial A, a energia de ativação E_a, a constante dos gases R e a temperatura T:
k = A \exp\!\left(-\dfrac{E_a}{RT}\right).
  • k é a constante de velocidade (medida de quão rápida é a reação).
  • A é o fator pré-exponencial (frequência efetiva de colisões orientadas).
  • E_a é a energia de ativação (energia mínima que as moléculas precisam ter para reagir).
  • R é a constante universal dos gases.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • Como as duas reações têm o mesmo A, a razão entre as constantes k_1 e k_2 simplifica para:
\frac{k_1}{k_2}=\exp\!\left(-\frac{E_{a,1}-E_{a,2}}{RT}\right).
Aqui é importante escolher a ordem: se a reação 1 tem energia de ativação menor que a reação 2 por 10\\ \mathrm{kcal/mol}, então E_{a,2}-E_{a,1}=\Delta E_a=10\\ \mathrm{kcal/mol} e a razão k_{\text{menor }E_a}/k_{\text{maior }E_a}=\exp\!\left(\dfrac{\Delta E_a}{RT}\right).

Passo 3

Conversões de unidades e valores numéricos usados:
  • Converter \Delta E_a para unidades de \mathrm{J/mol} (porque R será usado em \mathrm{J/(mol\cdot K)}):
\Delta E_a = 10\\ \mathrm{kcal/mol} = 10\,000\\ \mathrm{cal/mol} \times 4{,}184\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{cal}} = 41\,840\\ \mathrm{J/mol}.
  • Constante dos gases: R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Produto RT a T=298\\ \mathrm{K}:
RT = 8{,}314 \times 298 \approx 2\,477{,}8\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 4

Cálculo da razão numérica:
  • Exponente que aparece na razão:
\frac{\Delta E_a}{RT}=\frac{41\,840}{2\,477{,}8}\approx 16{,}88.
  • Portanto a razão entre a constante da reação com menor E_a e a da reação com maior E_a é
\frac{k_{\text{menor }E_a}}{k_{\text{maior }E_a}}=\exp\!\left(\frac{\Delta E_a}{RT}\right)\approx \exp(16{,}88)\approx 2{,}1\times10^{7}.
  • O inverso, \dfrac{k_{\text{maior }E_a}}{k_{\text{menor }E_a}}, é aproximadamente 4{,}7\times10^{-8}.

Passo 5

Interpretação física (explicação didática e intuição):
  • A dependência exponencial com -E_a/(RT) significa que pequenas diferenças em E_a viram grandes diferenças em k porque a exponencial amplifica a mudança.
  • Numericamente, uma diferença de 10\\ \mathrm{kcal/mol} (≈ 41{,}8\\ \mathrm{kJ/mol}) é muito grande quando comparada a RT em temperatura ambiente (que é ≈ 2{,}48\\ \mathrm{kJ/mol}). Aqui \Delta E_a/RT\approx 16{,}9, daí a razão enorme.
  • Conclusão prática: à mesma temperatura ambiente e com mesmo fator A, a reação com 10\\ \mathrm{kcal/mol} menor energia de ativação será cerca de 2{,}1\times10^{7} vezes mais rápida. Ou seja, essa diferença em E_a torna uma reação imensamente mais veloz que a outra.
  • Observação adicional: se a temperatura subir bastante, o efeito relativo de uma mesma \Delta E_a diminui (porque RT cresce), então a multiplicação pela exponencial fica menos extrema. Mas à temperatura ambiente o efeito é gigantesco.

Resposta

\dfrac{k_{\text{menor }E_a}}{k_{\text{maior }E_a}} \approx 2{,}1\times10^{7}
\dfrac{k_{\text{maior }E_a}}{k_{\text{menor }E_a}} \approx 4{,}7\times10^{-8}

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