Seja X um espaço produto interno. Prove que se X é complexo, então
lang<= x, yrang<==14(|x+y|^2-|x-y|^2+i|x+i y|^2-i|x-i y|^2)
No caso de X ser real,
lang<= x, yrang<==14(|x+y|^2-|x-y|^2)

Passo 1

O enunciado pede a demonstração da identidade de polarização em espaços de produto interno. Mais precisamente, queremos mostrar que, para quaisquer x,y em um espaço complexo X,
lang<= x,yrang<= =14l(|x+y|^2-|x-y|^2 +i,|x+i y|^2-i,|x-i y|^2r),
e que, no caso real, isso se reduz a
lang<= x,yrang<= =14l(|x+y|^2-|x-y|^2r)
Para isso, vamos usar a definição de norma em termos do produto interno e separar as partes real e imaginária de lang<= x,yrang<=.

Passo 2

Calculemos primeiro
|x+y|^2=lang<= x+y,x+yrang<=. Expansão usando linearidade e conjugação hermitiana dá
|x+y|^2 =lang<= x,xrang<=+lang<= x,yrang<=+lang<= y,xrang<=+lang<= y,yrang<= =|x|^2+|y|^2+lang<= x,yrang<=+lang<= x,yrang<=
De modo análogo,
|x-y|^2 =|x|^2+|y|^2-lang<= x,yrang<=-lang<= x,yrang<=
Subtraindo essas duas expressões obtemos
|x+y|^2-|x-y|^2 =2lang<= x,yrang<=+2lang<= x,yrang<= =4,Relang<= x,yrang<=

Passo 3

Agora expandimos
|x+i y|^2=lang<= x+i y,x+i yrang<=. Isso resulta em
|x+i y|^2 =|x|^2+|y|^2 +i,lang<= x,yrang<= -i,lang<= x,yrang<=,
enquanto
|x-i y|^2 =|x|^2+|y|^2 -i,lang<= x,yrang<= +i,lang<= x,yrang<=
Fazendo a diferença,
|x+i y|^2-|x-i y|^2 =2i,lang<= x,yrang<=-2i,lang<= x,yrang<= =4,Imlang<= x,yrang<=

Passo 4

Juntando as duas diferenças e multiplicando por 1/4, vemos que
14l(|x+y|^2-|x-y|^2r) +i,14l(|x+i y|^2-|x-i y|^2r) =Relang<= x,yrang<=+i,Imlang<= x,yrang<= =lang<= x,yrang<=
Isso prova a identidade de polarização no caso complexo.

Passo 5

Se X for um espaço real, então lang<= x,yrang<= é real e Imlang<= x,yrang<==0. Logo
|x+i y|^2=|x-i y|^2 e o termo com i desaparece, restando
lang<= x,yrang<= =14l(|x+y|^2-|x-y|^2r)

Resposta

Em espaço complexo:
lang<= x,yrang<= =14l(|x+y|^2-|x-y|^2 +i,|x+i y|^2-i,|x-i y|^2r)
Em espaço real:
lang<= x,yrang<= =14l(|x+y|^2-|x-y|^2r)

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