(Q1-ITA/1992) Considere as funções f: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mathrm{eh}: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R} definidas por: \mathrm{f}(\mathrm{x})=3^{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}} ; \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}; h(x)=\frac{81}{x}.
O conjunto dos valores de x em R^{*} tais que (\mathrm{fog})(\mathrm{x})=(\mathrm{hof})(\mathrm{x}), é subconjunto de:
a) [0,3]
b) [3,7]
c) [-6,1]
d) [-2,2]

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Funções dadas (peguei estes três da própria questão):
    • f:\mathbb{R}^{*}\to\mathbb{R} com f(x)=3^{\,x+\frac{1}{x}}.
    • g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com g(x)=x^{2}.
    • h:\mathbb{R}^{*}\to\mathbb{R} com h(x)=\dfrac{81}{x}.
  • Domínio comum considerado: \mathbb{R}^{*} (todos os reais não nulos).
  • O que a questão pede: determinar o conjunto dos valores de x\in\mathbb{R}^{*} tais que (f\circ g)(x)=(h\circ f)(x) e, entre as alternativas dadas, escolher qual intervalo contém esse conjunto (ou seja, é um subconjunto dele).

Passo 2

Calcular explicitamente as duas composições que aparecem na equação.
  • Definição: (f\circ g)(x)=f(g(x)). Como g(x)=x^{2}, temos
(f\circ g)(x)=f(x^{2})=3^{\,x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}.
  • Definição: (h\circ f)(x)=h(f(x)). Como f(x)=3^{\,x+\frac{1}{x}} e h(t)=\dfrac{81}{t}, temos
(h\circ f)(x)=\frac{81}{3^{\,x+\frac{1}{x}}}.
Observe que 81=3^{4}, portanto podemos reescrever
(h\circ f)(x)=3^{4}\cdot 3^{-\left(x+\frac{1}{x}\right)}=3^{\,4 - \left(x+\frac{1}{x}\right)}.

Passo 3

Reduzir a equação (f\circ g)(x)=(h\circ f)(x) aos expoentes.
Tendo
3^{\,x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}=3^{\,4 - \left(x+\frac{1}{x}\right)},
usamos a propriedade importante da função exponencial de base 3: como 3>0 e 3\neq1, a função t\mapsto 3^{t} é injetora, ou seja, se 3^{A}=3^{B} então A=B. Assim podemos igualar os expoentes:
x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \;=\; 4 - \left(x+\frac{1}{x}\right).

Passo 4

Simplificar a equação dos expoentes usando uma substituição útil.
Seja
u \;=\; x+\frac{1}{x}.
Há uma identidade algébrica simples que vamos usar:
x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \;=\; \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2 \;=\; u^{2}-2.
Substituindo na equação do Passo 3 obtemos:
u^{2}-2 \;=\; 4 - u.
Colocando todos os termos no lado esquerdo:
u^{2}+u-6 \;=\; 0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática em u.
A equação
u^{2}+u-6=0
fatora-se como
(u+3)(u-2)=0.
Logo as soluções são
u=-3 \quad\text{ou}\quad u=2.

Passo 6

Voltar para x e resolver cada caso x+\dfrac{1}{x}=u.
Caso u=2:
x+\frac{1}{x}=2 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-2x+1=0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}=0,
portanto
x=1.
Caso u=-3:
x+\frac{1}{x}=-3 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+3x+1=0.
Resolvendo a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}.
Portanto as três soluções reais (todas não nulas) são
x=1,\qquad x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},\qquad x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}.

Passo 7

Analisar numericamente as raízes para verificar em qual intervalo cada uma está.
Aproximações (para intuir posições nos intervalos):
\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\approx\frac{-3+2{,}23607}{2}\approx-0{,}381966\quad(\text{entre }-1\text{ e }0),
\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\approx\frac{-3-2{,}23607}{2}\approx-2{,}618034\quad(\text{aprox. }-2{,}618).
E x=1 é óbvio.
Assim o conjunto de todas as soluções é
\left\{\,1,\; \frac{-3+\sqrt{5}}{2},\; \frac{-3-\sqrt{5}}{2}\,\right\}
aproximadamente \{1,\,-0{,}382,\,-2{,}618\}.
Agora verificamos as alternativas:
  • (a) [0,3] não contém -0{,}382 nem -2{,}618 → descartada.
  • (b) [3,7] não contém 1 nem os negativos → descartada.
  • (d) [-2,2] contém 1 e -0{,}382 mas NÃO contém -2{,}618 → descartada.
  • (c) [-6,1] contém 1, contém -0{,}382 e contém -2{,}618 → esta alternativa contém todas as soluções.
Portanto o conjunto solução é subconjunto do intervalo da alternativa (c).

Resposta

c) [-6,1]

Exercícios relacionados