(Q1-ITA/1992) Considere as funções
definidas por:
;
.
conjunto dos valores de
em
tais que
, é subconjunto de:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Funções dadas (peguei estes três da própria questão):
-
com . -
com . -
com .
-
- Domínio comum considerado:
(todos os reais não nulos). - O que a questão pede: determinar o conjunto dos valores de
tais que e, entre as alternativas dadas, escolher qual intervalo contém esse conjunto (ou seja, é um subconjunto dele).
Passo 2
Calcular explicitamente as duas composições que aparecem na equação.
- Definição:
. Como , temos
- Definição:
. Como e , temos
Observe que
, portanto podemos reescrever
Passo 3
Reduzir a equação
aos expoentes.
Tendo
usamos a propriedade importante da função exponencial de base
: como
e
, a função
é injetora, ou seja, se
então
. Assim podemos igualar os expoentes:
Passo 4
Simplificar a equação dos expoentes usando uma substituição útil.
Seja
Há uma identidade algébrica simples que vamos usar:
Substituindo na equação do Passo 3 obtemos:
Colocando todos os termos no lado esquerdo:
Passo 5
Resolver a equação quadrática em
.
A equação
fatora-se como
Logo as soluções são
Passo 6
Voltar para
e resolver cada caso
.
Caso
:
portanto
Caso
:
Resolvendo a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
Portanto as três soluções reais (todas não nulas) são
Passo 7
Analisar numericamente as raízes para verificar em qual intervalo cada uma está.
Aproximações (para intuir posições nos intervalos):
E
é óbvio.
Assim o conjunto de todas as soluções é
aproximadamente
.
Agora verificamos as alternativas:
- (a)
não contém nem → descartada. - (b)
não contém nem os negativos → descartada. - (d)
contém e mas NÃO contém → descartada. - (c)
contém , contém e contém → esta alternativa contém todas as soluções.
Portanto o conjunto solução é subconjunto do intervalo da alternativa (c).
Resposta
c)