- (Q20-ITA/1988) O conjunto imagem da função
definida por
é
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede o conjunto imagem de
(ou seja, todos os valores que
assume quando
varia em
). As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio de
é o intervalo . - Fórmula:
. - A função composta envolve uma função linear interna
e a função externa.
Passo 2
Entender as duas partes da composição. Primeiro, defino a função interna
É uma função linear com coeficiente angular
, portanto
é estritamente crescente em
. Para achar a imagem de
em
basta avaliar nos extremos:
Como
é contínua e crescente, o conjunto de valores de
quando
é o intervalo
Passo 3
Agora a função externa:
. Lembrar (conceito importante): a função
é definida em
com valores em
e é estritamente decrescente nesse intervalo. Intuição curta e prática:
é decrescente em
, portanto sua inversa
é decrescente em
.
Como
e
, os possíveis argumentos de
variam exatamente nesse intervalo. Como
é decrescente, o maior valor de
ocorre quando o argumento é o menor valor de
, e o menor valor de
ocorre quando o argumento é o maior valor de
. Logo avalio:
Passo 4
Calcular explicitamente esses arccosenos (passo pedagógico para decorar e usar na prova):
- Sabe-se que
. Portanto
- Sabe-se que
. Portanto
Assim os valores extremos de
em
são
(máximo) e
(mínimo).
Passo 5
Justificar que todos os valores entre esses extremos aparecem:
é contínua e
é contínua em
, logo
é contínua em
. Uma função contínua em intervalo fechado assume todos os valores entre seu mínimo e máximo (teorema do valor intermediário). Portanto a imagem de
é o intervalo fechado
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas, a correspondência é a alternativa d).
Resposta
d)