1. (Q20-ITA/1988) O conjunto imagem da função f:[0,1] \rightarrow[0, \pi] definida por f(x)=\operatorname{arccos} \frac{3 x-1}{2} é
    a) \left\{0, \frac{\pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}\right\}
    b) [0, \pi]
    c) \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
    d) \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]
    e) \left[0, \frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado dá a função f:[0,1]\to[0,\pi] definida por f(x)=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3x-1}{2}\right) e pede o conjunto imagem de f (ou seja, todos os valores que f(x) assume quando x varia em [0,1]). As alternativas são:
a) \left\{0, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{2\pi}{3}\right\}
b) [0,\pi]
c) \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}\right]
d) \left[0,\dfrac{2\pi}{3}\right]
e) \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio de f é o intervalo [0,1].
  • Fórmula: f(x)=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3x-1}{2}\right).
  • A função composta envolve uma função linear interna g(x)=\dfrac{3x-1}{2} e a função \operatorname{arccos} externa.

Passo 2

Entender as duas partes da composição. Primeiro, defino a função interna
g(x)=\dfrac{3x-1}{2}.
É uma função linear com coeficiente angular \dfrac{3}{2}>0, portanto g é estritamente crescente em [0,1]. Para achar a imagem de g em [0,1] basta avaliar nos extremos:
g(0)=\dfrac{3\cdot0-1}{2}=\dfrac{-1}{2}, \qquad g(1)=\dfrac{3\cdot1-1}{2}=\dfrac{2}{2}=1.
Como g é contínua e crescente, o conjunto de valores de g quando x\in[0,1] é o intervalo
g([0,1])=\left[-\dfrac{1}{2},\,1\right].

Passo 3

Agora a função externa: \operatorname{arccos}. Lembrar (conceito importante): a função \operatorname{arccos} é definida em [-1,1] com valores em [0,\pi] e é estritamente decrescente nesse intervalo. Intuição curta e prática: \cos é decrescente em [0,\pi], portanto sua inversa \operatorname{arccos} é decrescente em [-1,1].
Como f=\operatorname{arccos}\circ g e g([0,1])=\left[-\dfrac{1}{2},1\right], os possíveis argumentos de \operatorname{arccos} variam exatamente nesse intervalo. Como \operatorname{arccos} é decrescente, o maior valor de f ocorre quando o argumento é o menor valor de g, e o menor valor de f ocorre quando o argumento é o maior valor de g. Logo avalio:
f(0)=\operatorname{arccos}\!\left(g(0)\right)=\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{1}{2}\right), \qquad f(1)=\operatorname{arccos}\!\left(g(1)\right)=\operatorname{arccos}(1).

Passo 4

Calcular explicitamente esses arccosenos (passo pedagógico para decorar e usar na prova):
  • Sabe-se que \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}. Portanto
\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}.
  • Sabe-se que \cos(0)=1. Portanto
\operatorname{arccos}(1)=0.
Assim os valores extremos de f em [0,1] são f(0)=\dfrac{2\pi}{3} (máximo) e f(1)=0 (mínimo).

Passo 5

Justificar que todos os valores entre esses extremos aparecem: g é contínua e \operatorname{arccos} é contínua em [-1,1], logo f=\operatorname{arccos}\circ g é contínua em [0,1]. Uma função contínua em intervalo fechado assume todos os valores entre seu mínimo e máximo (teorema do valor intermediário). Portanto a imagem de f é o intervalo fechado
\left[0,\dfrac{2\pi}{3}\right].

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a correspondência é a alternativa d).

Resposta

d) \left[0,\dfrac{2\pi}{3}\right]

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