(Q2-ITA/1992) O domínio da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{2 \mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}+1}^{\left(3 \mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x}+2\right)} é:
a) (-\infty, 0) \cup\left(0, \frac{1}{2}\right) \cup\left(0, \frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)
b) \left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup\left(1, \frac{5}{2}\right) \cup\left(\frac{5}{2},+\infty\right)
c) \left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right) \cup\left(1, \frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)
d) (-\infty, 0) \cup(1,+\infty)

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\log_{\,2x^{2}-3x+1}\!\left(3x^{2}-5x+2\right) e pede o domínio dessa função.
As informações relevantes extraídas do enunciado são:
  • a base do logaritmo é b(x)=2x^{2}-3x+1;
  • o argumento do logaritmo é A(x)=3x^{2}-5x+2;
  • precisamos determinar todos os valores de x para os quais a função está bem definida (domínio).

Passo 2

Relembrando as condições para que \log_{b}(A) esteja definido (aqui uma mini-aula rápida e prática):
  • A base b deve ser positiva: b>0.
  • A base não pode ser 1: b\neq 1.
  • O argumento deve ser positivo: A>0.
Vou aplicar essas três condições com b(x)=2x^{2}-3x+1 e A(x)=3x^{2}-5x+2.

Passo 3

Começo analisando a condição b(x)>0. Encontrar as raízes de b(x)=0:
2x^{2}-3x+1=0.
Calculando as raízes (fórmula quadrática ou fatorando): o discriminante é \Delta=(-3)^{2}-4\cdot2\cdot1=9-8=1, então as raízes são
x=\frac{3\pm1}{4}\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}\\ \text{e}\\ x=1.
Como o coeficiente do termo x^{2} é 2>0, a parábola abre para cima e b(x)>0 ocorre fora do intervalo entre raízes. Portanto
\{x:\,b(x)>0\}=(-\infty,\tfrac{1}{2})\cup(1,\infty).

Passo 4

Agora a condição A(x)>0. Encontro as raízes de A(x)=0:
3x^{2}-5x+2=0.
O discriminante é \Delta=(-5)^{2}-4\cdot3\cdot2=25-24=1, então as raízes são
x=\frac{5\pm1}{6}\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{2}{3}\\ \text{e}\\ x=1.
Como o coeficiente de x^{2} é 3>0, a parábola abre para cima e A(x)>0 ocorre fora do intervalo entre raízes. Portanto
\{x:\,A(x)>0\}=(-\infty,\tfrac{2}{3})\cup(1,\infty).

Passo 5

Faço a interseção das duas condições b(x)>0 e A(x)>0:
\big((-\infty,\tfrac{1}{2})\cup(1,\infty)\big)\cap\big((-\infty,\tfrac{2}{3})\cup(1,\infty)\big).
Note que (-\infty,\tfrac{1}{2})\subset(-\infty,\tfrac{2}{3}). Assim a interseção simplifica para
(-\infty,\tfrac{1}{2})\cup(1,\infty).

Passo 6

Ainda falta a segunda condição sobre a base: b(x)\neq 1. Resolvo b(x)=1:
2x^{2}-3x+1=1 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-3x=0 \quad\Rightarrow\quad x(2x-3)=0,
portanto x=0 ou x=\tfrac{3}{2}. Esses valores devem ser excluídos do domínio (mesmo que satisfaçam b>0 e A>0 em alguns casos). Verifico onde cada um está na interseção encontrada:
  • x=0 pertence a (-\infty,\tfrac{1}{2}), então deve ser removido dessa parte;
  • x=\tfrac{3}{2} pertence a (1,\infty), então deve ser removido dessa parte.

Passo 7

Portanto o domínio final é a interseção obtida em Passo 5 com a remoção de x=0 e x=\tfrac{3}{2}. Ou seja,
\boxed{(-\infty,0)\cup(0,\tfrac{1}{2})\cup(1,\tfrac{3}{2})\cup(\tfrac{3}{2},\infty).}
Comparando com as alternativas fornecidas, essa corresponde à alternativa (a) (observando que a alternativa (a) apresenta esses mesmos intervalos).

Resposta

(a)

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