(Q3-ITA/1986) Seja f: R \rightarrow R uma função que satisfaz à seguinte propriedade: f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x, y \in R. Se g(x)=f\left(\log _{10}\left(x^{2}+1\right)^{2}\right), então podemos afirmar que:
a) o domínio de g é \mathbb{R} e \mathrm{g}(0)=\mathrm{f}(1).
b) g não está definida para os reais negativos e g(x)=2 f\left(\log _{10}\left(x^{2}+1\right)\right), para x \geq 0.
c) \mathrm{g}(0)=0 \mathrm{eg}(\mathrm{x})=2 \mathrm{f}\left(\log _{10}\left(\mathrm{x}^{2}+1\right)\right), \forall \mathrm{x} \in \mathbb{R}.
d) \mathrm{g}(0)=\mathrm{f}(0) e g é injetora.
e) \mathrm{g}(0)=-1 \mathrm{eg}(\mathrm{x})=\left[\mathrm{f}\left(\log _{10}\left(\mathrm{x}^{2}+1\right)^{-1}\right)\right]^{2}, \forall \mathrm{x} \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
  • Foi dada uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaz f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad \forall x,y\in\mathbb{R}.
  • Foi definida a função g por g(x)=f\!\left(\log_{10}\bigl((x^{2}+1)^{2}\bigr)\right).
  • O enunciado pede que se escolha qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira, sendo cada alternativa uma afirmação sobre o domínio de g, o valor de g(0) e/ou uma forma equivalente de g(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:
  • A propriedade aditiva de f: f(x+y)=f(x)+f(y) para todos os reais.
  • A expressão dentro do logaritmo é (x^{2}+1)^{2}.
  • Para que \log_{10}(\cdot) esteja definida é preciso que o argumento seja positivo.

Passo 2

Determinar o domínio de g.
Analisar o argumento do logaritmo:
(x^{2}+1)^{2}.
Notas:
  • Para todo x\in\mathbb{R} tem-se x^{2}\ge 0, logo x^{2}+1\ge 1>0.
  • Portanto (x^{2}+1)^{2} > 0 para todo x\in\mathbb{R}.
Conclusão: o argumento do \log_{10} é estritamente positivo para todo x\in\mathbb{R}, então \log_{10}\bigl((x^{2}+1)^{2}\bigr) está definido para todo x\in\mathbb{R}. Assim o domínio de g é \mathbb{R}.

Passo 3

Calcular g(0) diretamente a partir da definição de g.
Substituindo x=0 na definição:
g(0)=f\!\left(\log_{10}\bigl((0^{2}+1)^{2}\bigr)\right)=f\!\left(\log_{10}(1^{2})\right)=f\!\left(\log_{10}(1)\right).
Como \log_{10}(1)=0, segue que
g(0)=f(0).

Passo 4

Usar a propriedade aditiva de f para obter informação adicional sobre f(0) e sobre f(2t).
Primeiro, aplicando a propriedade com x=0 e y=0:
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0).
Subtraindo f(0) dos dois lados obtemos f(0)=0.
Agora, para qualquer real t vale
f(2t)=f(t+t)=f(t)+f(t)=2f(t).
Isto vale porque a propriedade aditiva permite somar o argumento consigo mesmo.

Passo 5

Usar a identidade logarítmica \log_{10}\bigl(a^{2}\bigr)=2\log_{10}(a) (válida quando a>0) para simplificar g(x), e depois aplicar a aditividade de f.
Como já vimos, x^{2}+1>0 para todo x, portanto é válido escrever:
\log_{10}\bigl((x^{2}+1)^{2}\bigr)=2\log_{10}(x^{2}+1).
Substituindo na definição de g:
g(x)=f\!\bigl(2\log_{10}(x^{2}+1)\bigr).
Usando o resultado do Passo 4 ( f(2t)=2f(t) para todo t), com t=\log_{10}(x^{2}+1), obtemos
g(x)=2\,f\!\bigl(\log_{10}(x^{2}+1)\bigr),\qquad \forall x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Combinar os resultados úteis e confrontá-los com as alternativas.
Resumo dos resultados:
  • Domínio de g é \mathbb{R}.
  • f(0)=0 (pela aditividade).
  • g(0)=f(0)=0.
  • Para todo x\in\mathbb{R}, g(x)=2\,f\!\bigl(\log_{10}(x^{2}+1)\bigr).
Agora comparar com as alternativas:
  • (a) diz domínio \mathbb{R} (ok) e g(0)=f(1) (incorreto, g(0)=f(0) e f(1) não é igual a f(0) em geral).
  • (b) diz que g não está definida para reais negativos (falso) e dá uma fórmula apenas para x\ge0 (desnecessário).
  • (c) afirma g(0)=0 e g(x)=2f(\log_{10}(x^{2}+1)) para todo x\in\mathbb{R}. Isto bate exatamente com os resultados obtidos.
  • (d) afirma g(0)=f(0) (isto é verdade) e que g é injetora (não necessariamente; por exemplo g(x)=g(-x) sempre devido ao x^{2}, então não é injetora em geral).
  • (e) é manifestamente falsa/sem sentido com relação ao que foi deduzido.
Portanto a alternativa correta é a (c).

Resposta

c)

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