(Q3-ITA/1986) Seja
uma função que satisfaz à seguinte propriedade:
,
. Se
, então podemos afirmar que:
a) o domínio de g é
e
.
b) g não está definida para os reais negativos e
, para
.
c)
.
d)
e g é injetora.
e)
a) o domínio de g é
b) g não está definida para os reais negativos e
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
- Foi dada uma função
que satisfaz - Foi definida a função
por - O enunciado pede que se escolha qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira, sendo cada alternativa uma afirmação sobre o domínio de
, o valor de e/ou uma forma equivalente de .
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:
- A propriedade aditiva de
: para todos os reais. - A expressão dentro do logaritmo é
. - Para que
esteja definida é preciso que o argumento seja positivo.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Analisar o argumento do logaritmo:
Notas:
- Para todo
tem-se , logo . - Portanto
para todo .
Conclusão: o argumento do
é estritamente positivo para todo
, então
está definido para todo
. Assim o domínio de
é
.
Passo 3
Calcular
diretamente a partir da definição de
.
Substituindo
na definição:
Como
, segue que
Passo 4
Usar a propriedade aditiva de
para obter informação adicional sobre
e sobre
.
Primeiro, aplicando a propriedade com
e
:
Subtraindo
dos dois lados obtemos
.
Agora, para qualquer real
vale
Isto vale porque a propriedade aditiva permite somar o argumento consigo mesmo.
Passo 5
Usar a identidade logarítmica
(válida quando
) para simplificar
, e depois aplicar a aditividade de
.
Como já vimos,
para todo
, portanto é válido escrever:
Substituindo na definição de
:
Usando o resultado do Passo 4 (
para todo
), com
, obtemos
Passo 6
Combinar os resultados úteis e confrontá-los com as alternativas.
Resumo dos resultados:
- Domínio de
é . -
(pela aditividade). -
. - Para todo
,
Agora comparar com as alternativas:
- (a) diz domínio
(ok) e (incorreto, e não é igual a em geral). - (b) diz que
não está definida para reais negativos (falso) e dá uma fórmula apenas para (desnecessário). - (c) afirma
e para todo . Isto bate exatamente com os resultados obtidos. - (d) afirma
(isto é verdade) e que é injetora (não necessariamente; por exemplo sempre devido ao , então não é injetora em geral). - (e) é manifestamente falsa/sem sentido com relação ao que foi deduzido.
Portanto a alternativa correta é a (c).
Resposta
c)