(ITA/2009) Seja
uma função satisfazendo às condições:
; para todo
e
, para todo
:
Das afirmações:
I.
pode ser ímpar;
II.
;
III. f é injetiva;
IV.f não é sobrejetiva, pois
para todo
.
é (são) falsa(s) apenas
a) I e III.
b) II e III.
c) I e IV.
d) IV.
e) I.
I.
II.
III. f é injetiva;
IV.f não é sobrejetiva, pois
é (são) falsa(s) apenas
a) I e III.
b) II e III.
c) I e IV.
d) IV.
e) I.
Passo 1
O enunciado define uma função
que satisfaz
e ainda
Queremos identificar quais entre I. “
pode ser ímpar”, II. “
”, III. “
é injetiva” e IV. “
não é sobrejetiva, pois
” são falsas.
Passo 2
Calcular
. Tome
. Então
Como
, segue
.
Passo 3
Verificar se
pode ser ímpar. Se fosse ímpar teríamos
Mas para
isso daria
, contradizendo
. Logo I é falsa.
Passo 4
Mostrar que
é injetiva. Se
, então
Pela hipótese, a única solução de
é
. Logo
. Assim III é verdadeira.
Passo 5
Mostrar que
para todo
. Note que
Isso implica que a imagem de
não contém valores negativos, ou seja,
não é sobrejetiva em
. Logo IV é verdadeira.
Passo 6
Das afirmações, a única que se revelou falsa foi I.
Resposta
e) I.