(ITA/2010) Considere conjuntos \mathrm{A} ; \mathrm{B} \subset \mathbb{R} \mathrm{e} \mathrm{C} \subset(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}). Se \mathrm{A} \cup \mathrm{B}, \mathrm{A} \cap \mathrm{Ce} \mathrm{B} \cap \mathrm{C} são os domínios das funções reais definidas por \ln (x-\sqrt{\pi}), \sqrt{-x^{2}+6 x-8} e \sqrt{\frac{x-\pi}{5-x}}, respectivamente, pode-se afirmar que
a) \mathrm{C}=] \sqrt{\pi}, 5[
b) \mathrm{C}=[2, \pi]
c) \mathrm{C}=[2,5[
d) \mathrm{C}=[\pi, 4]
e) C não é intervalo.

Passo 1

O enunciado envolve conjuntos A,B\subset\mathbb{R} e C\subset(A\cup B). Sabemos que
  • A\cup B é o domínio de \ln(x-\sqrt{\pi}),
  • A\cap C é o domínio de \sqrt{-x^{2}+6x-8},
  • B\cap C é o domínio de \sqrt{\frac{x-\pi}{5-x}}.
    Para resolver, vamos achar cada domínio e depois determinar C.

Passo 2

Domínio de \ln(x-\sqrt{\pi}): requer x-\sqrt{\pi}>0, logo
A\cup B=(\sqrt{\pi},\infty).

Passo 3

Domínio de \sqrt{-x^{2}+6x-8}: exige
-x^{2}+6x-8\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-6x+8\le0,
cuja solução é
A\cap C=[2,4].

Passo 4

Domínio de \sqrt{\tfrac{x-\pi}{5-x}}: exige \tfrac{x-\pi}{5-x}\ge0 e x\neq5. Resolvendo o sinal, obtemos
B\cap C=[\pi,5).

Passo 5

Como C\subset A\cup B, e dentro de C temos exatamente os pontos de A\cap C e de B\cap C, segue
C=(A\cap C)\,\cup\,(B\cap C)=[2,4]\cup[\pi,5)=[2,5).

Resposta

c) \displaystyle C=[2,5[

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