1. (ITA/2009) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U=\{a, b, c, d, e, f, g, h\}.
    Sabendo que \left(B^{C} \cup A\right)^{C}=\{f, g, h\}, B^{C} \cap A=\{a, b\} e A^{C} \backslash B=\{d, e\}, então, n(P(A \cap B) é igual a
    a) 0
    b) 1
    c) 2
    d) 4
    e) 8

Passo 1

O enunciado pede o número de elementos do conjunto das partes de A\cap B, ou seja
n\bigl(\mathcal{P}(A\cap B)\bigr)=2^{\bigl|A\cap B\bigr|}.
Para encontrar \bigl|A\cap B\bigr|, vamos usar as informações dadas, todas envolvendo interseções e complementos em U=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}.

Passo 2

Dividimos U nas quatro regiões disjuntas do diagrama de Venn para A e B:
  1. A\cap B.
  2. A\cap B^C.
  3. A^C\cap B.
  4. A^C\cap B^C.
Usamos então cada condição do enunciado:
  • \;B^C\cap A=\{a,b\} nos diz que
A\cap B^C=\{a,b\}.
  • \;B\cap A^C=\{f,g,h\} (vinda de (B^C\cup A)^C=B\cap A^C) nos diz que
A^C\cap B=\{f,g,h\}.
  • \;A^C\setminus B=\{d,e\} significa A^C\cap B^C=\{d,e\}.

Passo 3

Falta somente a região A\cap B. Como U tem 8 elementos, e já atribuímos
\{a,b\},\;\{d,e\},\;\{f,g,h\},
o único elemento não usado é c. Logo
A\cap B=\{c\}.

Passo 4

Temos \bigl|A\cap B\bigr|=1. Portanto
n\bigl(\mathcal{P}(A\cap B)\bigr)=2^{1}=2.

Resposta

2

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