(ITA/2010) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos \mathrm{A}, \mathrm{B} e C quaisquer:
I. A negação de x \in A \cap B é: x \notin A ou x \notin B;
II. \mathrm{A} \cap(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})(\mathrm{A} \cap \mathrm{C});
III. (\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}) \cup(\mathrm{B} \backslash \mathrm{A})=(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) \backslash(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
Destas, é (são) falsa(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e III.
e) nenhuma.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre conjuntos \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C} e pede quais delas são falsas. Vamos usar leis de De Morgan para negação de proposições, a propriedade distributiva de união e interseção, e a definição de diferença simétrica.

Passo 2

Analisando I: “a negação de x\in A\cap B é x\notin A ou x\notin B”. Em lógica, seja p\colon x\in A e q\colon x\in B. Então
\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q.
Logo
\neg\bigl(x\in A\cap B\bigr)\equiv\bigl(x\notin A\bigr)\lor\bigl(x\notin B\bigr),
portanto I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: a lei correta de distributividade é
A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C).
Mas a afirmação II escreve
A\cap(B\cup C)=(A\cap B)(A\cap C),
isto é, está usando interseção no lugar de união, o que daria (A\cap B)\cap(A\cap C)=A\cap B\cap C, diferente de A\cap(B\cup C). Logo II é falsa.

Passo 4

Analisando III: por definição a diferença simétrica é
A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)
e também vale
A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B).
Como a afirmação III coincide exatamente com essa identidade, ela é verdadeira.

Resposta

b) apenas II.

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