(ITA/2012) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo
. Das afirmações:
I.
;
II.
;
III.
.
é (são) sempre verdadeira(s) apenas
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
e) II e III.
I.
II.
III.
é (são) sempre verdadeira(s) apenas
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
e) II e III.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto universo
e três subconjuntos
, e pede para verificar quais das três expressões abaixo são sempre verdadeiras, usando operações de conjunto (diferença, intersecção, união, complementar) e as Leis de De Morgan:
I.
II.
III.
I.
II.
III.
Passo 2
Analisamos I. Primeiro reescrevemos
e depois
O lado direito é
que em geral não coincide com
. Logo, I é falsa.
Passo 3
Analisamos II. Novamente
então
Do outro lado, note que
portanto
que também não coincide em geral com
. Logo, II é falsa.
Passo 4
Analisamos III. É exatamente a Lei de De Morgan: o complemento de uma intersecção é a união dos complementos. Em símbolos,
Portanto, III é verdadeira.
Resposta
c) Apenas III é sempre verdadeira.