(ITA/2012) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:
I. \left(A \backslash B^{C}\right) \backslash C^{C} \backslash=A \cap(B \cup C);
II. \left(A \backslash B^{C}\right) \backslash C=A \cup\left(B \cap C^{C}\right)^{C};
III. \mathrm{B}^{\mathrm{C}} \cup \mathrm{C}^{\mathrm{C}}=(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})^{\mathrm{C}}.
é (são) sempre verdadeira(s) apenas
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
e) II e III.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto universo U e três subconjuntos A,B,C, e pede para verificar quais das três expressões abaixo são sempre verdadeiras, usando operações de conjunto (diferença, intersecção, união, complementar) e as Leis de De Morgan:
I. \bigl(A\setminus B^{C}\bigr)\setminus C^{C} = A\cap(B\cup C)
II. \bigl(A\setminus B^{C}\bigr)\setminus C = A\cup\bigl(B\cap C^{C}\bigr)^{C}
III. B^{C}\cup C^{C} = (B\cap C)^{C}

Passo 2

Analisamos I. Primeiro reescrevemos
A\setminus B^{C} = A\cap\bigl(B^{C}\bigr)^{C} = A\cap B
e depois
\bigl(A\setminus B^{C}\bigr)\setminus C^{C} = (A\cap B)\cap\bigl(C^{C}\bigr)^{C} = A\cap B\cap C.
O lado direito é
A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\;\cup\;(A\cap C),
que em geral não coincide com A\cap B\cap C. Logo, I é falsa.

Passo 3

Analisamos II. Novamente
A\setminus B^{C} = A\cap B,
então
\bigl(A\setminus B^{C}\bigr)\setminus C = (A\cap B)\cap C^{C} = A\cap B\cap C^{C}.
Do outro lado, note que
\bigl(B\cap C^{C}\bigr)^{C} = B^{C}\cup\bigl(C^{C}\bigr)^{C} = B^{C}\cup C,
portanto
A\cup\bigl(B\cap C^{C}\bigr)^{C} = A\cup B^{C}\cup C,
que também não coincide em geral com A\cap B\cap C^{C}. Logo, II é falsa.

Passo 4

Analisamos III. É exatamente a Lei de De Morgan: o complemento de uma intersecção é a união dos complementos. Em símbolos,
(B\cap C)^{C} = B^{C}\cup C^{C}.
Portanto, III é verdadeira.

Resposta

c) Apenas III é sempre verdadeira.

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