(ITA/2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A \subset B e n(\{C: C \subset B \backslash A\})=128.
Então, das afirmações abaixo:
I. n(B)-n(A) é único;
II. \mathrm{n}(\mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{A}) \leq 128;
III. a dupla ordenada ( n(A), n(B) ) é única.
é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) nenhuma.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são conjuntos finitos não vazios, com A\subset B, e que o número de subconjuntos de B\setminus A é 128. O conteúdo é análise de cardinalidades e potência de conjuntos (número de subconjuntos de um conjunto de certa ordem).

Passo 2

Seja k = n(B)-n(A). Então \,B\setminus A tem k elementos, e o número de seus subconjuntos é
2^{k} \;=\;128.
Logo, 2^{k}=128=2^{7}, de onde k=7.
Daí concluímos que
n(B)-n(A)=7
é sempre o mesmo valor. Logo, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Para a soma
n(B)+n(A) \;=\;(n(A)+7)+n(A)=2\,n(A)+7,
não há nenhum limite superior, pois n(A) pode ser qualquer inteiro \ge1. Portanto, não é garantido que n(B)+n(A)\le128. A afirmação II é falsa.

Passo 4

Como só sabemos que n(B)=n(A)+7, o par ordenado (n(A),n(B)) não é único: basta escolher qualquer n(A)\ge1 e tomar n(B)=n(A)+7. Logo, a afirmação III é falsa.

Resposta

(a)

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