(ITA/2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que
e
.
Então, das afirmações abaixo:
I.
é único;
II.
;
III. a dupla ordenada (
) é única.
é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) nenhuma.
I.
II.
III. a dupla ordenada (
é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) nenhuma.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são conjuntos finitos não vazios, com
, e que o número de subconjuntos de
é 128. O conteúdo é análise de cardinalidades e potência de conjuntos (número de subconjuntos de um conjunto de certa ordem).
Passo 2
Seja
. Então
tem
elementos, e o número de seus subconjuntos é
Logo,
, de onde
.
Daí concluímos que
Daí concluímos que
é sempre o mesmo valor. Logo, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Para a soma
não há nenhum limite superior, pois
pode ser qualquer inteiro
. Portanto, não é garantido que
. A afirmação II é falsa.
Passo 4
Como só sabemos que
, o par ordenado
não é único: basta escolher qualquer
e tomar
. Logo, a afirmação III é falsa.
Resposta
(a)