(ITA/2012) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que
. Então, a diferença
pode assumir
a) um único valor.
b) apenas dois valores distintos.
c) apenas três valores distintos.
d) apenas quatro valores distintos.
e) mais do que quatro valores distintos.
a) um único valor.
b) apenas dois valores distintos.
c) apenas três valores distintos.
d) apenas quatro valores distintos.
e) mais do que quatro valores distintos.
Passo 1
O enunciado fala de dois conjuntos disjuntos, finitos e não vazios
e
, e dá a condição
onde
. Queremos achar os possíveis valores de
.
Passo 2
Usamos a fórmula de inclusão-exclusão em
sabendo que
(pois
). Logo
Passo 3
Substituímos na condição do enunciado:
Passo 4
Sejam
e
, ambos inteiros positivos. A equação fica
Sem perda de generalidade, suponha
e escreva
com
. Então
Dividindo por
obtemos
A única forma de
ser potência de 2 é
, dando
. Assim
e
.
Passo 5
Concluímos que
, logo
que é um único valor possível.
Resposta
a) um único valor.