(ITA/2012) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que \mathrm{n}(\mathrm{P}(\mathrm{A}) \mathrm{U} \mathrm{P}(\mathrm{B}))+1 =n(P(A \cup B)). Então, a diferença n(A)-n(B) pode assumir
a) um único valor.
b) apenas dois valores distintos.
c) apenas três valores distintos.
d) apenas quatro valores distintos.
e) mais do que quatro valores distintos.

Passo 1

O enunciado fala de dois conjuntos disjuntos, finitos e não vazios A e B, e dá a condição
n\bigl(P(A)\cup P(B)\bigr)+1 = n\bigl(P(A\cup B)\bigr),
onde n(P(X))=2^{\,|X|}. Queremos achar os possíveis valores de |A|-|B|.

Passo 2

Usamos a fórmula de inclusão-exclusão em
P(A)\cup P(B)
sabendo que P(A)\cap P(B)=\{\varnothing\} (pois A\cap B=\varnothing). Logo
n\bigl(P(A)\cup P(B)\bigr) =\,|P(A)|+|P(B)|-1 =2^{|A|}+2^{|B|}-1.

Passo 3

Substituímos na condição do enunciado:
\bigl(2^{|A|}+2^{|B|}-1\bigr)+1 \;=\;2^{\,|A\cup B|} \quad\Longrightarrow\quad 2^{|A|}+2^{|B|}=2^{|A|+|B|}.

Passo 4

Sejam a=|A| e b=|B|, ambos inteiros positivos. A equação fica
2^a + 2^b = 2^{a+b}.
Sem perda de generalidade, suponha a\ge b e escreva a=b+k com k\ge0. Então
2^{b+k}+2^b = 2^b\bigl(2^k+1\bigr) \quad=\quad2^{a+b}=2^{2b+k}.
Dividindo por 2^b obtemos
2^k+1 = 2^{a} = 2^{b+k}.
A única forma de 2^k+1 ser potência de 2 é k=0, dando 2^0+1=2=2^1. Assim k=0 e a=b=1.

Passo 5

Concluímos que |A|=|B|=1, logo
|A|-|B| = 1-1 = 0,
que é um único valor possível.

Resposta

a) um único valor.

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