(ITA/2013) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:
I. \quad \mathrm{A} \backslash(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=(\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A} \backslash \mathrm{C});
II. (A \cap C) \backslash B=A \cap B^{C} \cap C;
III. (A \backslash B) \cap(B \backslash C)=(A \backslash B) \backslash C.
é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) todas.

Passo 1

O enunciado dá três afirmações envolvendo diferença e operações de conjuntos sobre A, B e C, todas contidas num universo U. Queremos verificar a veracidade de:
I. \;A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C)
II. (A\cap C)\setminus B=A\cap B^{C}\cap C
III. (A\setminus B)\cap(B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C

Passo 2

Para I, usamos a definição de diferença X\setminus Y = X\cap Y^{C} e a lei de De Morgan em B\cap C:
A\setminus(B\cap C) = A\cap(B\cap C)^{C} = A\cap\bigl(B^{C}\cup C^{C}\bigr) = (A\cap B^{C})\cup(A\cap C^{C}) = (A\setminus B)\cup(A\setminus C).
Logo, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Para II, basta aplicar diretamente a definição de diferença em (A\cap C)\setminus B:
(A\cap C)\setminus B = (A\cap C)\cap B^{C} = A\cap C\cap B^{C} = A\cap B^{C}\cap C.
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.

Passo 4

Em III, analisamos os dois lados:
Lado esquerdo
(A\setminus B)\cap(B\setminus C) = (A\cap B^{C})\cap(B\cap C^{C}) = A\cap(B^{C}\cap B)\cap C^{C} = A\cap\varnothing\cap C^{C} = \varnothing.
Lado direito
(A\setminus B)\setminus C = (A\cap B^{C})\cap C^{C} = A\cap B^{C}\cap C^{C},
que em geral não é vazio (por exemplo, qualquer x\in A que não esteja nem em B nem em C pertence ao lado direito). Como o lado esquerdo é sempre vazio e o direito nem sempre, a igualdade falha.

Resposta

Apenas I e II são verdadeiras. Portanto, a alternativa correta é a (c).

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