(ITA/2013) Considere funções \mathrm{f}, \mathrm{g}, \mathrm{f}+\mathrm{g}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Das afirmações:
I. Se fe g são injetoras, f + g é injetora;
II. Se fe g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;
III. Se fe \mathbf{g} não são injetoras, \mathrm{f}+\mathrm{g} não é injetora;
IV. Se fe g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora. é (são) verdadeira(s)
a) nenhuma.
b) apenas I e II
c) apenas I e III
d) apenas III e IV.
e) todas.

Passo 1

O enunciado pede para analisar quatro afirmações sobre injetividade e sobrejetividade de funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e de sua soma f+g. Vamos usar contraprovas por exemplo para cada afirmação que for falsa.

Passo 2

Para mostrar que “se f e g são injetoras, então f+g é injetora” (afirmação I) é falsa, basta o contraexemplo \;f(x)=x,\;g(x)=-x.
Aqui f e g são injetoras, mas
(f+g)(x)=x+(-x)=0
é constante e não injetora.

Passo 3

A afirmação II, “se f e g são sobrejetoras, então f+g é sobrejetora”, também falha com o mesmo exemplo \;f(x)=x,\;g(x)=-x,
pois ambas são sobrejetoras em \mathbb{R}, mas f+g\equiv0 não atinge qualquer valor além de 0.

Passo 4

Para a afirmação III, “se f e g não são injetoras, então f+g não é injetora”, apresentamos
f(x)=x^2,\quad g(x)=x^3 - x^2.
Cada uma delas falha em ser injetora (por exemplo f(1)=f(-1) e g(0)=g(1)), mas
(f+g)(x)=x^2 + (x^3 - x^2)=x^3
é injetora em \mathbb{R}. Logo III é falsa.

Passo 5

Para a afirmação IV, “se f e g não são sobrejetoras, então f+g não é sobrejetora”, usamos
f(x)=x^2,\quad g(x)=-x^2 + x.
Temos \mathrm{Im}(f)=[0,\infty) e \mathrm{Im}(g)=(-\infty,\,1/4], logo nenhuma é sobrejetora, mas
(f+g)(x)=x^2 +(-x^2 + x)=x
é claramente sobrejetora em \mathbb{R}. Assim IV é falsa.

Resposta

(a) nenhuma.

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