(ITA/2013) Considere funções
. Das afirmações:
I. Se fe g são injetoras, f + g é injetora;
II. Se fe g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;
III. Se fe
não são injetoras,
não é injetora;
IV. Se fe g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora. é (são) verdadeira(s)
a) nenhuma.
b) apenas I e II
c) apenas I e III
d) apenas III e IV.
e) todas.
I. Se fe g são injetoras, f + g é injetora;
II. Se fe g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;
III. Se fe
IV. Se fe g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora. é (são) verdadeira(s)
a) nenhuma.
b) apenas I e II
c) apenas I e III
d) apenas III e IV.
e) todas.
Passo 1
O enunciado pede para analisar quatro afirmações sobre injetividade e sobrejetividade de funções
e de sua soma
. Vamos usar contraprovas por exemplo para cada afirmação que for falsa.
Passo 2
Para mostrar que “se
e
são injetoras, então
é injetora” (afirmação I) é falsa, basta o contraexemplo
Aqui e
são injetoras, mas
Aqui
é constante e não injetora.
Passo 3
A afirmação II, “se
e
são sobrejetoras, então
é sobrejetora”, também falha com o mesmo exemplo
pois ambas são sobrejetoras em , mas
não atinge qualquer valor além de
.
pois ambas são sobrejetoras em
Passo 4
Para a afirmação III, “se
e
não são injetoras, então
não é injetora”, apresentamos
Cada uma delas falha em ser injetora (por exemplo
e
), mas
é injetora em
. Logo III é falsa.
Passo 5
Para a afirmação IV, “se
e
não são sobrejetoras, então
não é sobrejetora”, usamos
Temos
e
, logo nenhuma é sobrejetora, mas
é claramente sobrejetora em
. Assim IV é falsa.
Resposta
(a) nenhuma.