(ITA/2014) Das afirmações:
I. Se x, y \in R \backslash Q, \operatorname{com} y \neq-x, então x+y \in R \backslash Q;
II. Se x \in Q e y \in R \backslash Q, então x y \in R \backslash Q;
III. Sejam \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathrm{R}, com \mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}.
Se \mathrm{f}:[\mathrm{a}, \mathrm{c}] \longrightarrow[\mathrm{a}, \mathrm{b}] é sobrejetora, então \mathbf{f} não é injetora, é (são) verdadeira(s):
a) apenas I e II.
b) apenas I e III.
c) apenas II e III.
d) apenas III.
e) nenhuma.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre números e funções:
  1. Soma de irracionais;
  2. Produto de racional por irracional;
  3. Uma função f:[a,c]\to[a,b] (com a<b<c) sobrejetora é necessariamente não injetora.
    O objetivo é identificar quais dessas afirmativas são verdadeiras.

Passo 2

Analise da afirmativa I: “Se x,y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, com y\neq -x, então x+y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.”
Basta um contraexemplo: tome
x=\sqrt{2},\quad y=2-\sqrt{2}.
Ambos são irracionais e y\neq -x, mas
x+y=\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2,
que é racional. Logo, I é falsa.

Passo 3

Analise da afirmativa II: “Se x\in\mathbb{Q} e y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, então xy\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.”
Considere o caso x=0\in\mathbb{Q} e qualquer y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. Então
xy = 0\cdot y = 0,
que é racional. Logo, II é falsa.

Passo 4

Analise da afirmativa III: “Sejam a<b<c. Se f:[a,c]\to[a,b] é sobrejetora, então f não é injetora.”
Sem nenhuma hipótese extra (como continuidade), podemos construir bijeções entre dois intervalos de mesmo cardinal (ambos têm cardinalidade do contínuo). Assim existe f que é simultaneamente injetora e sobrejetora de [a,c] em [a,b]. Portanto, não se pode afirmar que toda sobrejeção desse tipo falha em ser injetora. Logo, III é falsa.

Passo 5

Concluímos que nenhuma das afirmativas I, II ou III é verdadeira.

Resposta

e) nenhuma.

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