(ITA/2014) Das afirmações:
I. Se
,
, então
;
II. Se
e
, então
;
III. Sejam
, com
.
Se
é sobrejetora, então
não é injetora, é (são) verdadeira(s):
a) apenas I e II.
b) apenas I e III.
c) apenas II e III.
d) apenas III.
e) nenhuma.
I. Se
II. Se
III. Sejam
a) apenas I e II.
b) apenas I e III.
c) apenas II e III.
d) apenas III.
e) nenhuma.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre números e funções:
- Soma de irracionais;
- Produto de racional por irracional;
- Uma função
(com ) sobrejetora é necessariamente não injetora.
O objetivo é identificar quais dessas afirmativas são verdadeiras.
Passo 2
Analise da afirmativa I: “Se
, com
, então
.”
Basta um contraexemplo: tome
Basta um contraexemplo: tome
Ambos são irracionais e
, mas
que é racional. Logo, I é falsa.
Passo 3
Analise da afirmativa II: “Se
e
, então
.”
Considere o caso e qualquer
. Então
Considere o caso
que é racional. Logo, II é falsa.
Passo 4
Analise da afirmativa III: “Sejam
. Se
é sobrejetora, então
não é injetora.”
Sem nenhuma hipótese extra (como continuidade), podemos construir bijeções entre dois intervalos de mesmo cardinal (ambos têm cardinalidade do contínuo). Assim existe que é simultaneamente injetora e sobrejetora de
em
. Portanto, não se pode afirmar que toda sobrejeção desse tipo falha em ser injetora. Logo, III é falsa.
Sem nenhuma hipótese extra (como continuidade), podemos construir bijeções entre dois intervalos de mesmo cardinal (ambos têm cardinalidade do contínuo). Assim existe
Passo 5
Concluímos que nenhuma das afirmativas I, II ou III é verdadeira.
Resposta
e) nenhuma.