Mostre que:
\left|z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\ldots+\left|z_{n}\right|, para quaisquer z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados quaisquer números complexos z_{1},z_{2},\dots,z_{n}, vale
\bigl|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}\bigr|\;\le\;\bigl|z_{1}\bigr|+\bigl|z_{2}\bigr|+\cdots+\bigl|z_{n}\bigr|.
O conteúdo principal é a desigualdade triangular em \mathbb{C}, e vamos usar indução matemática para extensões de somas de mais de dois termos.

Passo 2

Caso base n=1:
\bigl|z_{1}\bigr| = \bigl|z_{1}\bigr|,
logo a desigualdade é trivialmente verdadeira.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n\ge1 já vale
\bigl|z_{1}+\cdots+z_{n}\bigr|\;\le\;\sum_{k=1}^{n}\bigl|z_{k}\bigr|.

Passo 4

Passo de indução n\to n+1: defina S=z_{1}+\cdots+z_{n}. Pela desigualdade triangular para dois complexos S e z_{n+1} temos
\bigl|S+z_{n+1}\bigr|\;\le\;\bigl|S\bigr|+\bigl|z_{n+1}\bigr|.
Usando a hipótese de indução \bigl|S\bigr|\le\sum_{k=1}^{n}|z_{k}|, segue
\bigl|z_{1}+\cdots+z_{n}+z_{n+1}\bigr|\;\le\;\sum_{k=1}^{n}\bigl|z_{k}\bigr| + \bigl|z_{n+1}\bigr| =\sum_{k=1}^{n+1}\bigl|z_{k}\bigr|.
Assim a propriedade se estende a n+1 termos.

Resposta

Para todo n\ge1 e quaisquer z_{1},\dots,z_{n}\in\mathbb{C} vale
\bigl|z_{1}+\cdots+z_{n}\bigr|\;\le\;\bigl|z_{1}\bigr|+\cdots+\bigl|z_{n}\bigr|.

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