Mostre que:
Se \left|z_{1}\right|<1 e \left|z_{2}\right|<1, então \left|z_{1}+z_{2}\right|<\left|1+\overline{z_{1}} z_{2}\right|.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados dois números complexos \,z_{1} e \,z_{2} tais que \lvert z_{1}\rvert<1 e \lvert z_{2}\rvert<1, vale a desigualdade
\lvert z_{1}+z_{2}\rvert<\lvert 1+\overline{z_{1}}\,z_{2}\rvert.
O conteúdo principal é manipular módulos de soma em \mathbb{C}, usar a propriedade \lvert w\rvert^{2}=w\,\overline w e fatorar a diferença das expressões quadráticas.

Passo 2

Como \lvert z_{1}+z_{2}\rvert\ge0 e \lvert 1+\overline{z_{1}}\,z_{2}\rvert\ge0, podemos elevar ao quadrado sem inverter a desigualdade. Começamos escrevendo
\lvert z_{1}+z_{2}\rvert^{2}=(z_{1}+z_{2})(\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}) \quad\text{e}\quad \lvert 1+\overline{z_{1}}\,z_{2}\rvert^{2}=(1+\overline{z_{1}}\,z_{2})(1+z_{1}\,\overline{z_{2}}).

Passo 3

Expandindo cada produto, obtemos
\lvert z_{1}+z_{2}\rvert^{2} =\;|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+z_{1}\,\overline{z_{2}}+\overline{z_{1}}\,z_{2},
\lvert 1+\overline{z_{1}}\,z_{2}\rvert^{2} =\;1+|z_{1}|^{2}\,|z_{2}|^{2}+z_{1}\,\overline{z_{2}}+\overline{z_{1}}\,z_{2}.

Passo 4

Agora subtraímos as duas expressões para ver a diferença:
\lvert 1+\overline{z_{1}}\,z_{2}\rvert^{2}-\lvert z_{1}+z_{2}\rvert^{2} = \bigl(1+|z_{1}|^{2}|z_{2}|^{2}\bigr)-\bigl(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}\bigr).
Fatorando o lado direito,
\lvert 1+\overline{z_{1}}\,z_{2}\rvert^{2}-\lvert z_{1}+z_{2}\rvert^{2} =(1-|z_{1}|^{2})\,(1-|z_{2}|^{2}).

Passo 5

Como \lvert z_{1}\rvert<1 e \lvert z_{2}\rvert<1, temos 1-|z_{1}|^{2}>0 e 1-|z_{2}|^{2}>0. Logo
(1-|z_{1}|^{2})\,(1-|z_{2}|^{2})>0 \quad\Longrightarrow\quad \lvert 1+\overline{z_{1}}\,z_{2}\rvert^{2} >\lvert z_{1}+z_{2}\rvert^{2}.
Tirando raiz quadrada (mantendo desigualdade estrita pois os dois lados são não negativos), concluímos
\lvert z_{1}+z_{2}\rvert<\lvert 1+\overline{z_{1}}\,z_{2}\rvert.

Resposta

Demonstração completa:
\lvert z_{1}+z_{2}\rvert<\lvert 1+\overline{z_{1}}\,z_{2}\rvert.

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