Mostre que:
Se \left|z_{1}\right|<1 e \left|z_{2}\right|<1, então \left|z_{1}+z_{2}\right|<\left|1+\overline{z_{1}} z_{2}\right|.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados dois números complexos \,z_{1} e \,z_{2} tais que \lvert z_{1}\rvert<1 e \lvert z_{2}\rvert<1, vale a desigualdade
O conteúdo principal é manipular módulos de soma em \mathbb{C}, usar a propriedade \lvert w\rvert^{2}=w\,\overline w e fatorar a diferença das expressões quadráticas.
Passo 2
Como \lvert z_{1}+z_{2}\rvert\ge0 e \lvert 1+\overline{z_{1}}\,z_{2}\rvert\ge0, podemos elevar ao quadrado sem inverter a desigualdade. Começamos escrevendo