(UFRJ - adaptado) Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático. Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: “Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.” Fazendo a conversão para metros, a distância
percorrida por Aquiles nessa fábula é
Determine
.
Passo 1
O enunciado nos diz que Aquiles percorre inicialmente
metros e, depois, percorre infinitamente distâncias que formam a soma
O conteúdo que precisamos usar é a soma de uma série geométrica infinita com razão
.
Passo 2
Uma série geométrica infinita de primeiro termo
e razão
satisfaz, para
,
No nosso caso,
(pois o termo para
é
) e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da soma infinita, obtemos
Passo 4
A distância total
percorrida por Aquiles é