(ITA) Se M=[cc1 & -1 2 & 0] e N=[cc2 & 1 -1 & 3], então M N^top-M^-1 N é igual a
a) [rr32 & -52 52 & -32]
b) [rr32 & -12 72 & -52]
c) [cr32 & -112 132 & -52]
d) [cc32 & -52 132 & -32]
e) [cc32 & -112 132 & -32]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
M = 1 & -1 2 & 0
e
N = 2 & 1 -1 & 3
e pede M,N^top - M^-1N. Vamos usar produto de matrizes, transposição e a fórmula da inversa de matriz 2times2.

Passo 2

Primeiro calculamos N^top e M,N^top. Temos
N^top = 2 & -1 1 & 3
e então
M,N^top = 1 & -1 2 & 0 2 & -1 1 & 3 = 1cdot2 + (-1)cdot1 & 1cdot(-1) + (-1)cdot3 2cdot2 + 0cdot1 & 2cdot(-1) + 0cdot3 = 1 & -4 4 & -2

Passo 3

Agora encontramos M^-1. O determinante de M é
det(M) = 1cdot0 - (-1)cdot2 = 2,
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M^-1 = 12 0 & 1 -2 & 1

Passo 4

Em seguida calculamos M^-1N:
0 & 1 -2 & 1 2 & 1 -1 & 3 = 0cdot2 + 1cdot(-1) & 0cdot1 + 1cdot3 -2cdot2 + 1cdot(-1) & -2cdot1 + 1cdot3 = -1 & 3 -5 & 1,
portanto
M^-1N = 12-1 & 3 -5 & 1 = -tfrac12 & tfrac32 -tfrac52 & tfrac12

Passo 5

Finalmente fazemos a diferença
M,N^top - M^-1N = 1 & -4 4 & -2 - -tfrac12 & tfrac32 -tfrac52 & tfrac12 = 1 + tfrac12 & -4 - tfrac32 4 + tfrac52 & -2 - tfrac12 = tfrac32 & -tfrac112 tfrac132 & -tfrac52

Passo 6

Comparando com as alternativas, isso corresponde à letra (c).

Resposta

(c) tfrac32 & -tfrac112[4pt]tfrac132&-tfrac52]

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