(ITA) Seja A a matriz de ordem 3 times 2, dada por A=[ll1 & 0 0 & 1 1 & 1]. Determine todas as matrizes B tais que B A=I2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear. Temos uma matriz A de ordem 3 times 2 dada por:
A = 1 & 0 0 & 1 1 & 1
O objetivo é encontrar todas as matrizes B tais que BA = I2 , onde I2 é a matriz identidade de ordem 2 times 2 . Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a multiplicação BA . Se B é uma matriz que multiplicada por A resulta na identidade I2 , então B deve ser uma matriz de ordem 2 times 3 , já que A é 3 times 2 :
B = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23

Passo 3

Agora, vamos multiplicar B por A :
BA = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 1 & 0 0 & 1 1 & 1
A multiplicação de matrizes é feita somando os produtos das linhas de B pelas colunas de A . O resultado deve ser a matriz identidade I2 :
BA = 1 & 0 0 & 1

Passo 4

Vamos calcular os elementos de BA :
BA = b11 cdot 1 + b12 cdot 0 + b13 cdot 1 & b11 cdot 0 + b12 cdot 1 + b13 cdot 1 b21 cdot 1 + b22 cdot 0 + b23 cdot 1 & b21 cdot 0 + b22 cdot 1 + b23 cdot 1
Simplificando:
BA = b11 + b13 & b12 + b13 b21 + b23 & b22 + b23

Passo 5

Igualando BA a I2 , obtemos o seguinte sistema de equações:
b11 + b13 = 1 b12 + b13 = 0 b21 + b23 = 0 b22 + b23 = 1

Passo 6

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação: b12 = -b13 .
  2. Da primeira equação: b11 = 1 - b13 .
  3. Da terceira equação: b21 = -b23 .
  4. Da quarta equação: b22 = 1 - b23 .

Passo 7

Observamos que b13 e b23 são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Portanto, podemos expressar B em termos dessas variáveis:
B = 1 - b13 & -b13 & b13 - b23 & 1 - b23 & b23

Resposta

Todas as matrizes B que satisfazem BA = I2 são da forma:
B = 1 - c & -c & c - d & 1 - d & d
onde c e d são números reais quaisquer.

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