Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço tridimensional . Queremos mostrar que esse conjunto forma uma base para . Para isso, precisamos entender dois conceitos principais: linearmente independentes e gerar todo o espaço. Além disso, vamos utilizar determinantes para verificar a independência linear desses vetores.
Passo 2
Primeiro, para que seja uma base de , os vetores precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço . Uma forma eficiente de checar isso é calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas. Se o determinante for diferente de zero, significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores de como colunas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A. Para uma matriz 3 times 3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
No nosso caso:
a = 1, b = 1, c = -3
d = 1, e = 2, f = 1
g = 1, h = 0, i = 0
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula do determinante:
O determinante de A é 6, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores de beta são linearmente independentes. Como temos três vetores em um espaço tridimensional e eles são independentes, eles também geram todo o espaço R^3. Portanto, beta é uma base de R^3.
Resposta
Assim, concluímos que beta = (1,1,1), (1,2,0), (-3,1,0) é uma base do R^3.