Seja beta=(1,1,1),(1,2,0),-(3,1,0). Mostre que:
beta é uma base do R^3.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores beta = (1,1,1), (1,2,0), (-3,1,0) no espaço tridimensional R^3. Queremos mostrar que esse conjunto beta forma uma base para R^3. Para isso, precisamos entender dois conceitos principais: linearmente independentes e gerar todo o espaço. Além disso, vamos utilizar determinantes para verificar a independência linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, para que beta seja uma base de R^3, os vetores precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço R^3. Uma forma eficiente de checar isso é calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas. Se o determinante for diferente de zero, significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 3

Vamos montar a matriz A com os vetores de beta como colunas:
A = 1 & 1 & -3 1 & 2 & 1 1 & 0 & 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A. Para uma matriz 3 times 3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
No nosso caso:
  • a = 1, b = 1, c = -3
  • d = 1, e = 2, f = 1
  • g = 1, h = 0, i = 0

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do determinante:
det(A) = 1 cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 0) + (-3) cdot (1 cdot 0 - 2 cdot 1)
Simplificando cada termo:
det(A) = 1 cdot (0 - 0) - 1 cdot (0 - 0) + (-3) cdot (0 - 2)
det(A) = 0 - 0 + (-3) cdot (-2)
det(A) = 6

Passo 6

O determinante de A é 6, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores de beta são linearmente independentes. Como temos três vetores em um espaço tridimensional e eles são independentes, eles também geram todo o espaço R^3. Portanto, beta é uma base de R^3.

Resposta

Assim, concluímos que beta = (1,1,1), (1,2,0), (-3,1,0) é uma base do R^3.

Exercícios relacionados