(ITA) Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm . Quanto mede o raio da esfera inscrita nesse cone, em centímetros?
Passo 1
O enunciado nos dá um cone circular reto de altura
,cm e raio da base
,cm. Queremos achar o raio
da esfera que fica tangente à base do cone e à sua superfície lateral (isto é, a esfera inscrita). Para resolver, vamos usar geometria de triângulos e a condição de tangência de uma esfera a um cone.
Passo 2
Chamemos de
a geratriz do cone, que é o comprimento da reta que vai do vértice até um ponto da circunferência da base. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura
, o raio
e a geratriz
, temos
Passo 3
Seja
o centro da esfera inscrita, situado sobre o eixo do cone. A esfera toca a base no ponto em que a distância de
ao plano da base é exatamente
. Logo, a distância de
até o vértice do cone é
. Por outro lado, para que a esfera seja tangente à superfície lateral, a distância de
à geratriz (reta lateral) também deve ser
.
No triângulo de seção mediana do cone (vértice, centro da base e ponto médio de uma geratriz), a razão entre o segmento do eixo medido do vértice até
e o raio da base é igual à razão entre a geratriz
e o raio da base no mesmo triângulo. Isso leva à semelhança
Passo 4
Da relação acima isolamos
:
Passo 5
Substituindo
,
e
: