(ITA) Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm . Quanto mede o raio da esfera inscrita nesse cone, em centímetros?

Passo 1

O enunciado nos dá um cone circular reto de altura H=12,cm e raio da base R=5,cm. Queremos achar o raio r da esfera que fica tangente à base do cone e à sua superfície lateral (isto é, a esfera inscrita). Para resolver, vamos usar geometria de triângulos e a condição de tangência de uma esfera a um cone.

Passo 2

Chamemos de s a geratriz do cone, que é o comprimento da reta que vai do vértice até um ponto da circunferência da base. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura H, o raio R e a geratriz s, temos
s = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ cm}.

Passo 3

Seja O o centro da esfera inscrita, situado sobre o eixo do cone. A esfera toca a base no ponto em que a distância de O ao plano da base é exatamente r. Logo, a distância de O até o vértice do cone é H - r. Por outro lado, para que a esfera seja tangente à superfície lateral, a distância de O à geratriz (reta lateral) também deve ser r.
No triângulo de seção mediana do cone (vértice, centro da base e ponto médio de uma geratriz), a razão entre o segmento do eixo medido do vértice até O e o raio da base é igual à razão entre a geratriz s e o raio da base no mesmo triângulo. Isso leva à semelhança
\frac{H - r}{r} = \frac{s}{R}.

Passo 4

Da relação acima isolamos r:
(H - r)\,R = r\,s \quad\Longrightarrow\quad H\,R = r\,(s + R) \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{H\,R}{s + R}.

Passo 5

Substituindo H=12, R=5 e s=13:
r = \frac{12 \times 5}{13 + 5} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\text{ cm}.

Resposta

\displaystyle \frac{10}{3}

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