(ITA) Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm . Quanto mede o raio da esfera inscrita nesse cone, em centímetros?

Passo 1

Primeiro, recapitulemos: temos um cone circular reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm. Queremos achar o raio r da esfera inscrita. A ideia é fazer uma seção axial do cone, que vira um triângulo, e nessa visão a esfera vira um círculo inscrito nesse triângulo.

Passo 2

Nessa seção axial, o triângulo tem base 2R=10 cm e altura 12 cm, e os lados inclinados (a geratriz) valem
l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\text{ cm}.
A área desse triângulo é
A = \frac{\text{base}\times\text{altura}}{2} = \frac{10 \times 12}{2} = 60\text{ cm}^2,
e o semiperímetro é
s = \frac{10 + 13 + 13}{2} = 18\text{ cm}.

Passo 3

Para qualquer triângulo, o raio do círculo inscrito é dado por r = \frac{A}{s}. Aqui
r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\text{ cm}.

Resposta

\displaystyle \frac{10}{3} cm

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