(FGV-SP) Em 1990, uma empresa produziu 12525 unidades de certo produto e, em 1993, ela produziu 12885 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anuál desse produto vem crescendo em progressão aritmética desde 1987, pode-se afirmar que em 2005 esta fábrica produziu:
a) 14205 unidades.
b) 14325 unidades.
c) 14005 unidades.
d) 14235 unidades.
e) 14225 unidades.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo foi extraído do enunciado):
  • Em 1990 a produção foi 12525 unidades.
  • Em 1993 a produção foi 12885 unidades.
  • A produção anual vem crescendo em progressão aritmética desde 1987.
    A pergunta que devemos responder é: qual foi a produção em 2005 (escolher entre as alternativas dadas)?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula e o que significam os símbolos numa progressão aritmética (PA).
  • A PA tem termos a_1,a_2,a_3,\dots.
  • O termo geral é dado por
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde a_n é o n-ésimo termo, a_1 é o primeiro termo e d é a razão (diferença constante entre termos consecutivos).
  • Se conhecemos dois termos a_p e a_q com p\neq q, a razão pode ser obtida por
d=\frac{a_q-a_p}{q-p}.
Explicação curta: a_q-a_p soma exatamente q-p vezes a razão d, então dividindo obtemos d.

Passo 3

Mapeamento ano → índice na PA (pegando como primeiro termo o ano 1987):
  • Ano 1987 corresponde a a_1.
  • Ano 1990 é 1987+3, logo corresponde a a_4.
  • Ano 1993 é 1987+6, logo corresponde a a_7.
  • Ano 2005 é 1987+18, logo corresponde a a_{19}.
    Isso significa que conhecemos a_4=12525 e a_7=12885 e queremos a_{19}.

Passo 4

Calcular a razão d usando a_4 e a_7:
d=\frac{a_7-a_4}{7-4}=\frac{12885-12525}{3}.
Agora a conta:
12885-12525=360,
logo
d=\frac{360}{3}=120.
Interpretação: a produção aumenta 120 unidades a cada ano.

Passo 5

Calcular a_{19}. Podemos usar a_{19}=a_4+(19-4)d (isto evita achar a_1 explicitamente).
a_{19}=12525+(19-4)\cdot120 = 12525+15\cdot120.
Calcule 15\cdot120:
15\cdot120=1800.
Portanto
a_{19}=12525+1800=14325.

Passo 6

Conclusão: a produção em 2005 foi 14325 unidades. Isso corresponde à alternativa (b). Força aí — a ideia-chave é transformar anos em índices da PA e aplicar a fórmula do termo geral; com dois termos dados encontra-se a razão e daí qualquer outro termo.

Resposta

b) 14325 unidades.

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