(FGV-SP) Em uma progressão aritmética, o primeiro termo vale \frac{1}{2} e a soma dos vinte e cinco primeiros termos é igual a \frac{925}{2}. A razão desta progressão vale:
a) \frac{2}{3}
b) \frac{17}{12}
c) \frac{5}{24}
d) \frac{3}{2}
e) 2

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a razão da progressão aritmética:
  • Primeiro termo: \,a_1=\frac{1}{2}.
  • Soma dos vinte e cinco primeiros termos: \,S_{25}=\frac{925}{2}.
  • Pergunta: qual é a razão d da progressão aritmética?
    Não há outras informações nem figuras.

Passo 2

Lembrete (fórmula que vamos usar) — soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética:
S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr),
onde:
  • S_n é a soma dos n primeiros termos;
  • a_1 é o primeiro termo;
  • d é a razão;
  • n é o número de termos.
    Essa fórmula vem de escrever a soma em ordem direta e inversa e somar termo a termo; é uma fórmula padrão e muito útil em provas.

Passo 3

Aplicar a fórmula com n=25, a_1=\frac{1}{2} e S_{25}=\frac{925}{2}. Substituindo na fórmula:
\frac{925}{2}=\frac{25}{2}\bigl(2\cdot\frac{1}{2}+(25-1)d\bigr).

Passo 4

Simplificar o que está dentro do parêntese. Primeiro calcule 2\cdot\frac{1}{2} e 25-1:
2\cdot\frac{1}{2}=1,\qquad 25-1=24.
Então a equação fica
\frac{925}{2}=\frac{25}{2}\bigl(1+24d\bigr).

Passo 5

Eliminar o fator comum \frac{1}{2} multiplicando ambos os lados por 2:
925=25\bigl(1+24d\bigr).
Agora dividir ambos os lados por 25:
\frac{925}{25}=1+24d.

Passo 6

Calcular \frac{925}{25}. Como 25\cdot37=925, tem-se
37=1+24d.
Isolar d:
24d=37-1=36,
d=\frac{36}{24}.

Passo 7

Simplificar \frac{36}{24} dividindo numerador e denominador por 12:
d=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}.
Opcional (checagem rápida): o vigésimo quinto termo seria a_{25}=a_1+24d=\frac{1}{2}+24\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+36=\frac{73}{2}. A soma pelo outro formato \,S_{25}=\frac{25}{2}(a_1+a_{25})=\frac{25}{2}\bigl(\frac{1}{2}+\frac{73}{2}\bigr)=\frac{25}{2}\cdot\frac{74}{2}=\frac{25\cdot74}{4}=\frac{1850}{4}=\frac{925}{2}, confirma que está correto.

Resposta

(d)
\displaystyle \frac{3}{2}

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