(UFRGS) Um projétil lançado a 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} forma 37^{\circ} com a horizontal. Determine o tempo total de voo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o tempo total de voo:
  • Velocidade inicial: \,v_0=50\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento com a horizontal: \,\theta=37^\circ.
  • Pergunta: determinar o tempo total de voo (tempo desde o lançamento até o projétil voltar à mesma altura).

Passo 2

Primeiro passo prático: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Para isso usamos definições trigonométricas básicas em um triângulo retângulo:
  • A componente horizontal é \,v_{0x}=v_0\cos\theta.
  • A componente vertical é \,v_{0y}=v_0\sin\theta.
Explicando a trigonometria rapidinho: \sin\theta é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; \cos\theta é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Aqui a hipotenusa é \,v_0.
Neste problema é muito comum (e prático em prova sem calculadora) usar a aproximação associada ao triângulo 3\!-\!4\!-\!5: o ângulo cujo seno é 3/5=0{,}6 e cosseno 4/5=0{,}8 tem valor \approx36{,}87^\circ, que é muito próximo de 37^\circ. Portanto usamos
\sin 37^\circ \approx 0{,}6,\qquad \cos 37^\circ \approx 0{,}8.
Assim calculamos a componente vertical (que é a que importa para o tempo de voo):
v_{0y}=v_0\sin\theta=50\cdot 0{,}6=30\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora a parte do movimento vertical. Para a posição vertical y(t) (tomando y=0 no ponto de lançamento) sob aceleração constante da gravidade para baixo ( g), a equação do movimento é
y(t)=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2.
Aqui:
  • \,v_{0y} é a velocidade vertical inicial (em \mathrm{m/s}),
  • \,g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}); usaremos \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
  • \,t é o tempo (em s).
O projétil volta à mesma altura inicial quando y(t)=0. As soluções dessa equação são t=0 (instante do lançamento) e a solução não nula que nos interessa, que corresponde ao tempo total de voo.

Passo 4

Resolver y(t)=0 para o tempo não nulo:
0=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2 = t\left(v_{0y}-\tfrac{1}{2}gt\right).
Daí a solução não nula satisfaz
v_{0y}-\tfrac{1}{2}gt=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{2v_{0y}}{g}.
Substituindo v_{0y}=30\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
t=\frac{2\cdot 30}{9{,}8}=\frac{60}{9{,}8}.
Fazendo a divisão:
9{,}8\times 6 = 58{,}8,\quad \text{resta }1{,}2\Rightarrow \frac{60}{9{,}8}\approx 6{,}12\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Comentário prático para prova: se for permitido usar g\approx 10\\ \mathrm{m/s^2} (aproximação rápida), obtém-se
t\approx\frac{60}{10}=6{,}0\\ \mathrm{s},
uma estimativa muito próxima e fácil de calcular mentalmente. Mas com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} a resposta mais precisa é \,6{,}12\\ \mathrm{s}.

Resposta

\,6{,}12\\ \mathrm{s}

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