(UFRGS) Um projétil lançado a
forma
com a horizontal. Determine o tempo total de voo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o tempo total de voo:
- Velocidade inicial:
. - Ângulo de lançamento com a horizontal:
. - Pergunta: determinar o tempo total de voo (tempo desde o lançamento até o projétil voltar à mesma altura).
Passo 2
Primeiro passo prático: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Para isso usamos definições trigonométricas básicas em um triângulo retângulo:
- A componente horizontal é
. - A componente vertical é
.
Explicando a trigonometria rapidinho:
é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa;
é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Aqui a hipotenusa é
.
Neste problema é muito comum (e prático em prova sem calculadora) usar a aproximação associada ao triângulo
: o ângulo cujo seno é
e cosseno
tem valor
, que é muito próximo de
. Portanto usamos
Assim calculamos a componente vertical (que é a que importa para o tempo de voo):
Passo 3
Agora a parte do movimento vertical. Para a posição vertical
(tomando
no ponto de lançamento) sob aceleração constante da gravidade para baixo (
), a equação do movimento é
Aqui:
-
é a velocidade vertical inicial (em ), -
é a aceleração da gravidade (em ); usaremos , -
é o tempo (em s).
O projétil volta à mesma altura inicial quando
. As soluções dessa equação são
(instante do lançamento) e a solução não nula que nos interessa, que corresponde ao tempo total de voo.
Passo 4
Resolver
para o tempo não nulo:
Daí a solução não nula satisfaz
Substituindo
e
,
Fazendo a divisão:
Passo 5
Comentário prático para prova: se for permitido usar
(aproximação rápida), obtém-se
uma estimativa muito próxima e fácil de calcular mentalmente. Mas com
a resposta mais precisa é
.