(ITA) Seja A=(ai j)5 times 5 a matriz tal que ai j=2^i-1(2 j-1), 1 <= i, j <= 5. Considere as afirmações a seguir:
I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão 2 .
II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2 .
III. O somatório dos elementos aij com i=j é um número primo.
É (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas II e III.
d) apenas I e III. e) I, II e III.

Passo 1

O enunciado define a matriz A=(aij)5times5 com
aij = 2^,i-1(2j - 1), 1<= i,j<=5
Precisamos verificar as três afirmações:
I. As entradas de cada linha formam uma progressão aritmética de razão 2.
II. As entradas de cada coluna formam uma progressão geométrica de razão 2.
III. A soma dos elementos na diagonal principal é um número primo.

Passo 2

Analisando I: na linha fixa i, os termos são
ai,j = 2^,i-1(2j-1), j=1,2,3,4,5
A diferença entre termos consecutivos é
ai,j+1 - ai,j =2^,i-1l[(2(j+1)-1)-(2j-1)r] =2^,i-1cdot 2 =2^i
Logo, forma realmente uma progressão aritmética, mas de razão 2^i, não de 2. Portanto I é falsa.

Passo 3

Analisando II: na coluna fixa j, os termos são
ai,j = 2^,i-1(2j-1), i=1,2,3,4,5
O quociente de termos consecutivos vale
ai+1,jai,j =2^,i(2j-1)2^,i-1(2j-1) =2
Assim cada coluna é uma progressão geométrica de razão 2. Logo II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: a soma dos elementos da diagonal principal é
S = sumi=1^5aii =sumi=1^52^,i-1(2i-1) =1+6+20+56+144 =227
E 227 é número primo. Portanto III é verdadeira.

Passo 5

Das três afirmações, apenas II e III são verdadeiras.

Resposta

c) apenas II e III.

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